对数函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，已知底角为45°的等腰三角形ABC，底边AB的长为2，当一条垂直于AB的直线L从左至右移动时，直线L把三角形ABC分成两部分，令AD=x，

（1）试写出左边部分的面积y与x的函数解析式；

（2）在给出的坐标系中画出函数的大致图象．

正确答案

（1）设直线L与三角形ABC交于D、E两点

当0＜x≤1时，y=S△ADE=x2；

当1＜x≤2时，y=S△ACB-S△BDE=××-(2-x)2=-x2+2x-1

∴y=；

（2）函数的大致图象，如图所示

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题型：简答题

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简答题

某羊皮手套生产厂计划投入适当的广告费，对生产的手套进行促销．在一年内，据测算销售量S（万双）与广告费x（万元）之间的函数关系是S=5-．已知羊皮手套的固定投入为6万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入25万元．（年销售收入=年生产成本的120%+年广告费的50%）．

（I）将羊皮手套的年利润L（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；

（II）当年广告费投入为多少万元时，此厂的年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销售收入-年生产成本-年广告费）．（结果保留两位小数）（参考数据：=1.732，=2.236，=2.449）

正确答案

（I）由题意知，羊皮手套的年成本为（25S+6）万元，

年销售收入为（25S+6）×120%+x•50%，

年利润为L=（25S+6）×120%+x•50%-（25S+6）-x，

即L=(25S+6)-x．

又S=5-，所以L=5S+-x=5(5-)+-x=--x(x＞0)．

（II）由（I）知，L=--x=26.2-(+)≤26.2-2．26.2-2=26.2-2×2.236=21.728≈21.73．

当且仅当=，即x=2=2×2.236≈4.47时，L有最大值21.73．

因此，当年广告费投入约为4.47万元时，此厂的年利润最大，最大年利润约为21.73万元．

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简答题

有一五边形ABCDE的地块（如图所示），其中CD，DE为围墙．其余各边界是不能动的一些体育设施．现准备在此五边形内建一栋科技楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地．

（Ⅰ）请设计科技楼的长和宽，使科技楼的底面面积最大？

（Ⅱ）若这一块地皮价值为400万，现用来建每层为256平方米的楼房，楼房的总建筑面积（即各层的面积之和）的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整栋楼房每平方米的建筑费用增加25元．已知建筑5层楼房时，每平方米的建筑费用为500元．为了使该楼每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），问应把楼建成几层？

正确答案

（Ⅰ）由图建立如图所示的坐标系，可知AB所在的直线方程为

+=1，即 x+y=20，设G（x，y），由y=20-x可知G（x，20-x）．

S=（34-（20-x））（23-5-x）=-x2+4x+18•14=-（x-2）2+256．

由此可知，当x=2时，S有最大值256平方米．答：长宽均为16时面积最大．

（Ⅱ）设应把楼房建成x层，则楼房的总面积为256x平方米，每平方米的购地费为4000000÷（256x）元，每平方米的建筑费用为500+500（x-5）•5%元．

于是建房每平方米的综合费用为

y=500+500（x-5）•5%+=375+25x+≥375+2•=375+1250=1625（元）．

当25x=，即x2=，x==25时，y有最小值1625．

故为了使该楼每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼房建成25层．

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简答题

某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k（k＞0），若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．

（1）求k的值；

（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

正确答案

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简答题

线段|BC|=4，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设|AM|=y，|AB|=x．

（Ⅰ）求y=f（x）的函数表达式及函数的定义域；

（Ⅱ）设d=y+x-1，试求d的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）当A、B、C三点不共线时，由三角形中线性质知2（|BM|2+|AM|2）=|AB|2+|AC|2，

代入得2（22+y2）=x2+（6-x）2，

又y≥0，得y=；…（4分）

当A，B，C三点共线时，由|AB|+|AC|=6＞|BC|=4，可知A在线段BC外侧，

由|6-x-x|=4，可得x=1或x=5，因此，当x=1或x=5时，有|AB|+|AC|=6，

同时也满足：2（|BM|2+|AM|2）=|AB|2+|AC|2．

当A． B．C不共线时，||AB|-|AC||＜|BC|=4，可知1＜x＜5，…（6分）

从而y=f(x)=定义域为[1，5]．…（7分）

（Ⅱ）∵y=，∴d=y+x-1=+x-1．

令t=x-3，由1≤x≤5知，t∈[-2，2]，d=+t+2，

两边对t求导得：dt=1+≥1+＞0，

∴d关于t在[-2，2]上单调递增．

∴当t=2时，dmin=3，此时x=1；当t=2时，dmax=7．此时x=5．

故d的取值范围为[3，7]．…（15分）

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简答题

某连锁分店销售某种品牌产品，每件产品的成本为4元，并且每件产品需向总店交5元的管理费，预计当每件产品的售价为x元（10≤x≤12）时，一年的销售量为（13-x）2万件．

（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式L（x）（销售一件商品获得的利润为x-（4+5））；

（2）当每件产品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．

正确答案

（1）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L（x）=（x-9）（13-x）2，x∈[10，12]．

（2）对利润函数求导，得L′（x）=（13-x）2-2（x-9）（13-x）=（13-x）（31-3x）；

令L'（x）=0，得x=或x=13（舍去）；

因为L（x）在x∈[10，]上单调递增，L（x）在x∈[，12]上单调递减，

所以Lmax=L()=(-9)(13-)2=．

答：当每件售价为元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为万元．

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简答题

某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，蔬菜的种植面积为Sm2．

（1）用a、b 表示S；

（2）a、b各为多少时，蔬菜的种植面积S最大？最大种植面积是多少？

正确答案

（1）由题意可知，ab=800（a＞4，b＞2），

S=（a-4）（b-2）=ab-2a-4b+8；

（2）由ab=800，得b=（4＜a＜400），

代入S=ab-2a-4b+8，得

S=800-2a-4×+8=808-2（a+）

≤808-2=728．

当且仅当a=，即a=40时S取得最大值，

此时b==20．

所以当a=40m、b=20m时，蔬菜的种植面积S最大，最大种植面积是728m2．

答：当a=40m、b=20m时，蔬菜的种植面积S最大，最大种植面积是728m2．

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简答题

经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内（以30天计）销售价格f（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足f(t)=100(1+)（k为正常数），日销售量g（t）（件）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=125-|t-25|，且第25天的销售金额为13000元．

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）试写出该商品的日销售金额w（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；

（Ⅲ）该商品的日销售金额w（t）的最小值是多少？

正确答案

（Ⅰ）由题意，得f（25）•g（25）=13000，

即100(1+)•125=13000，解得k=1

（Ⅱ）w(t)=f(t)•g(t)=100(1+)(125-|t-25|)

=

（Ⅲ）①当1≤t＜25时，因为t+≥20，

所以当t=10时，w（t）有最小值12100

②当25≤t≤30时，∵-t在[25，30]上递减，

∴当t=30时，w（t）有最小值12400

∵12100＜12400，∴当t=10时，

该商品的日销售金额w（t）取得最小值为12100

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简答题

在边长分别为6dm和4dm的长方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起如图，做成一个无盖的长方形铁皮箱．切去的正方形边长为多少时，铁皮箱的容积最大．

正确答案

设切去的小正方形边长为x，其中x∈（0，2）；

则长方体铁皮箱的底面长为（6-2x），宽为（4-2x），高为x；

铁皮箱的容积为V（x）=（6-2x）（4-2x）x，x∈（0，2）；

求导，得V′（x）=12x2-40x+24，令V′（x）=0，解得x=，或x=（舍去）；

当x∈（0，）时，V′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（，2）时，V′（x）＜0，函数单调递减；

所以，函数V（x）在x=时取得最大值；即切去的正方形边长为dm时，铁皮箱的容积最大．

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简答题

运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米（60≤x≤100）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2+)升，司机的工资是每小时14元．

（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；

（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

正确答案

（1）设行车所用时间为t=(h)，y=×2×(2+)+，x∈[60，100]

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y=+x(x∈[60，100])

（2）y，=-+＞0

所以y=+x(x∈[60，100])为增函数．

所以，当x=60时，这次行车的总费用最低，最低费用为元

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