不等式选讲_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

选修4-1：几何证明选讲（请回答28、29题）

如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作

，垂足为．

选修4—4：坐标系与参数方程（请回答30、31题）

在直角坐标系中，圆的方程为．

选修4—5：不等式选讲（请回答32、33题）

已知函数，为不等式的解集．

28.证明：四点共圆；

29.若，为的中点，求四边形的面积．

30.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

31.直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．

32.求；

33.证明：当时，．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）详见解析；

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：

（Ⅰ）证明：∵

∴

∵，

∴

∴．

∴B，C，G，F四点共圆．

考查方向

本题考查了三角形相似、全等，四点共圆等知识点。

解题思路

（1）利用三角形相似即可证明四点共圆；

易错点

对相关定理不熟悉导致本题失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）.

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：

（II）由四点共圆，知，连结，

由为斜边的中点，知,故

因此四边形的面积是面积的2倍，即

考查方向

本题考查了三角形相似、全等，四点共圆等知识点。

解题思路

（2）由四点共圆可得，再证明，根据四边形的面积是面积的2倍求得结论．

易错点

对相关定理不熟悉导致本题失分。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

试题分析：本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

试题解析：（I）由可得的极坐标方程

考查方向

本题考查了圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式等知识点。

解题思路

（1）直接利用互化公式即可求出极坐标方程；

易错点

不能熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用导致本题出错。

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）.

解析

试题分析：本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为

由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

由得，

所以的斜率为或.

考查方向

本题考查了圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式等知识点。

解题思路

（2）先求出直线l的极坐标方程，将其带入C的极坐标方程得到关于的一元二次方程，再根据维达定理、弦长公式求出，进而求出直线的斜率．

易错点

不能熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用导致本题出错。

第(5)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

试题分析：本题属于不等式的选讲内容，不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等，解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式，属于简单题，只要掌握相关不等式的知识，即可解决本题，解析如下：

（I）

当时，由得解得；

当时，；

当时，由得解得.

所以的解集.

考查方向

本题考查了绝对值不等式，不等式的证明等知识点。

解题思路

（1）根据零点分段讨论法直接求解；

易错点

第二问不知如何运用已知条件导致此问无思路。

第(6)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）详见解析.

解析

试题分析：本题属于不等式的选讲内容，不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等，解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式，属于简单题，只要掌握相关不等式的知识，即可解决本题，解析如下：

（II）由（I）知，当时，，

从而，

因此

考查方向

本题考查了绝对值不等式，不等式的证明等知识点。

解题思路

（2）采用平方作差法，再临行因式分解，进而可证当时．

易错点

第二问不知如何运用已知条件导致此问无思路。

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

已知函数，.

24.若，且关于的不等式在上有解，求的最小值；

25.若函数在区间上不单调，求的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

试题分析：本题属于分段函数的性质、函数的最值、函数的单调性的综合应用问题，属于拔高题，不易得分，解析如下：当时，

结合图象可知，

函数在上单调递减，在上单调递增，

，由已知得，有解，只要，所以，

即的最小值为.

考查方向

本题考查了分段函数的性质、函数的最值、函数的单调性等知识点。

解题思路

先求出函数的最值，再利用恒成立求实数的最小值；

易错点

第二问中忽略对实数a范围的讨论导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

或．

解析

试题分析：本题属于分段函数的性质、函数的最值、函数的单调性的综合应用问题，属于拔高题，不易得分，解析如下：

（1）若，则在上单调递增，不满足条件；

（2）若，则，所以,

在上递减，在上递增，

故在上不单调等价于：解得；

（3）若，则

结合图象，有以下三种情况：

当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上不单调等价于解得；

当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由于恒成立，

所以在区间上不单调成立，即符合题意；

③当时，在上递减，在上递增，因此在上不单调，符合题意. 综上所述，或.

考查方向

本题考查了分段函数的性质、函数的最值、函数的单调性等知识点。

解题思路

根据题中条件就参数a的范围进行分类讨论，结合函数在区间上不单调，即可求除的取值范围．

易错点

第二问中忽略对实数a范围的讨论导致出错。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．已知正数x，y满足＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是___________．

正确答案

3

解析

考查方向

本题考察了均值定理，比较简单

解题思路

1）令2x＋y=t→y=t-2x带入计算

2）化简可以得到使用均值定理直接得出结果

易错点

主要易错于均值定理的构建过程

知识点

不等式的基本性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.若x、y满足，则的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

表示的平面区域为直线所围成的正方形区域，变形为，当其经过点（1,0）时，z最大为2，当其经过点（-1,0）时，z最小为-2，故z的取值范围为，选B。

考查方向

本题主要考查线性规划的有关知识，意在考查考生数形结合、分类讨论的数学思想。

解题思路

1.先做出约束条件对应的可行域；2.求出可行域端点的坐标，将各个点带入目标函数z的最大值和最小值即可。

易错点

对应的可行域是什么不会画；

知识点

绝对值不等式不等式的基本性质

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题型：简答题

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简答题 · 20 分

21.（选做题，以下A.B.C.D四㼵中选择两题做答）

A．（选修4-1：几何证明选讲）

　　如图，的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于P，E为上一点，AE=AC，DE交AB于点F。

　　求证：

B．（选修4-2：矩阵与变换）

　　已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点变成了点，点变成了点，求矩阵M的逆矩阵。

C．选修4-4：坐标系与参数方程）

　　已知曲线，直线。

　　（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

　　（2）设点P在曲线C上，求P点到直线距离的最小值。

D．（选修4-5：不等式选讲）

　　设函数，若不等式对任意且恒成立，求实数x的范围。

正确答案

A

B

C

D

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

不等式的基本性质

1

题型：简答题

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简答题 · 20 分

21.【选做题】

在A、B、C、D四小题中只能选做2题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.（几何证明选讲选做题）

如图，已知AB为园O的直径，BC切园O于点B，AC交园O于点P，E为线段BC的中点，求证OP⊥PE。

B.（矩阵与变换选做题）

已知,，设曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程。

C.（坐标系与参数方程选做题）

在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为（t为参数）；在以O为极点、射线为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.若直线m与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长。

D.（不等式选做题）

设x，y均为正数，且x＞y，求证：。

正确答案

A．

B．

C．

D．

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

不等式的基本性质

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。

（1）设函数，其中为实数。

(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。

（2）已知函数具有性质。给定设为实数，

，，且，

若||<||，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）(i)

∵时，恒成立，

∴函数具有性质；

(ii)（方法一）设，与的符号相同。

当时，，，故此时在区间上递增；

当时，对于，有，所以此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，而，

对于，总有，，故此时在区间上递增；

（方法二）当时，对于，

所以，故此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而

当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。

综上所述，当时，在区间上递增；

当时，在上递减；在上递增。

（2）（方法一）由题意，得：

又对任意的都有>0，

所以对任意的都有，在上递增。

又。

当时，，且，

综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。

①当时，有，

，得，同理可得，所以由的单调性知、，

从而有||<||，符合题设。

②当时，，

，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。

③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。

知识点

函数单调性的性质导数的运算不等式的基本性质

1

题型：简答题

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多选题

客户获得产品信息的渠道有( )。

A．发售机构的网站
B．柜台
C．理财类网站
D．理财中介类服务机构
E．研究机构

正确答案

A,B,C,D,E

解析

[解析] 客户可以从三个渠道获得产品信息，即发售机构的网站、柜台和第三方理财服务机构。第三方理财服务机构包括研究机构、理财类网站、理财中介类服务机构等。

1

题型：简答题

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多选题

最常见的银行理财产品风险包括( )。

A．政策风险
B．违约风险
C．利率风险
D．市场风险
E．流动性风险

正确答案

A,B,C,D,E

解析

[解析] 最常见的银行理财产品风险包括政策风险、违约风险或信用风险、市场风险、利率风险、汇率风险、流动性风险、提前终止风险等，其他还有操作风险、交易对手管理风险、延期风险、不可抗力及意外事件等风险。

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

【选修4-5：不等式选讲】

请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

设，若.

31.求的最小值；

32.求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）由柯西不等式，

得，

即，

，当且仅当时等号成立，

即的最小值为．（5分）

解析

由柯西不等式，

得，

即，

，当且仅当时等号成立，

即的最小值为．

考查方向

柯西不等式

解题思路

构造三维柯西不等式即可

易错点

对柯西不等式不熟悉，不能正确构造柯西不等式。

教师点评

本题考查三维柯西不等式的灵活运用。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）由柯西不等式，

得，

即，

，当且仅当时等号成立，

即的最小值为6．

解析

由柯西不等式，

得，

即，

，当且仅当时等号成立，

即的最小值为6．

考查方向

柯西不等式

解题思路

灵活构造三维柯西不等式

易错点

不能正确构造三维柯西不等式

教师点评

本题主要考查柯西不等式的灵活构造。

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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易错点

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易错点

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易错点

知识点

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

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知识点

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正确答案

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正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

教师点评

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

教师点评