不等式选讲_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P，集合Q＝

{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠，则的最大值是

正确答案

解析

∵已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P，集合Q＝

{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠，

∴-2∈P，即f（-2）≥0，则4a-2-b≥0，即

又由题意知，的最大值必是正数，则

∴的最大值是

考查方向

本题主要考查基本不等式的应用，根据集合关系进行等价转化是解决本题的关键

解题思路

根据不等式解集对应的关系，得到-2∈P，然后利用基本不等式进行求解即可

易错点

找不出不等关系f（-2）≥0，同时注意基本关系式适用条件

知识点

不等式的证明平均值不等式在函数极值中的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

正确答案

略

知识点

充要条件的判定不等式的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

20．已知函数的单调递增区间为，

（1）求证：；

（2）当取最小值时，点是函数图象上的两点，若存在使得，求证：

正确答案

（1）

依题意是方程的两根有：

（2）

取最小值时，，

在上是增函数，，

，从而

即

考虑函数，因，故当时，有，

所以是上是减函数．

由，得

由及得

故，即．

解析

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知识点

函数的单调性及单调区间函数恒成立问题导数的运算不等式的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

22．求证：．

正确答案

同时

于是得

即

解析

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知识点

不等式的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T，（不与a、b重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT。

（I）求证：；

（II）若，试求的大小。

23．已知函数．

（I）解不等式；

（II）若，求证：≤.

正确答案

22.（1）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定

理，，得

，设半径OB=，因BD=OB，且BC=OC=，

则，，

所以

（2）由（1）可知，，且，

故∽，所以；

根据圆周角定理得，，则

23.（1）由题.

因此只须解不等式.

当时，原不式等价于，即.

综上,原不等式的解集为.

（2）由题.

当＞0时，

.

解析

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知识点

弦切角与圆有关的比例线段绝对值不等式的解法不等式的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．导数已知函数，．
（Ⅰ）当时，证明：；
（Ⅱ）若，且，求的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）略

（Ⅱ）1

解析

试题分析：本题属于导数的常规问题，难度较大。函数的单调性、最值、不等式证明问题等等，都可利用导数加以解决。

（Ⅰ）由题意得，，

令，则，

在区间上，，单调递减；在区间上，，单调递增．

所以的最小值为，即，

所以函数在区间上单调递增，即.

（Ⅱ）令，则，

令，则，

由（1），得，则在区间上单调递减.

①当时，，且，

在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，

所以的最大值为，即恒成立.

②当时，，

时，，解得，

即时，，单调递减，

又，所以此时，与恒成立矛盾.

③当时，，

时，，解得，

即时，，单调递增，

又，所以此时，与恒成立矛盾.

综上，的取值为.

考查方向

本题主要考查函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．难度较大．

解题思路

本题主要考查函数的基本性质、导数的应用等基础知识，

解题步骤如下：

（Ⅰ）把证明不等式问题转化为求函数的最值问题解决；

（Ⅱ）构造函数，分类讨论解决即可。

易错点

（Ⅰ）第一问想不到转化为最小值问题解决；

（Ⅱ）第二问想不到构造函数，利用化归与转化解答。

知识点

函数单调性的判断与证明导数的运算不等式的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．设函数，曲线在点P（1，0）处的切线斜率为2。

（1）求a，b的值；

（2）证明：。

正确答案

由题设，y＝f（x）在点P（1，0）处切线的斜率为2.

∴，解之得

因此实数a，b的值分别为－1和3.

（2）证明　f（x）＝x－x2＋3ln x（x>0）．

设g（x）＝f（x）－（2x－2）＝2－x－x2＋3ln x，

则g′（x）＝－1－2x＋＝－.

当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0.

∴g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，＋∞）上单调递减．

∴g（x）在x＝1处有最大值g（1）＝0，

∴f（x）-（2x-2）≤0，即f（x）≤2x-2，得证

解析

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知识点

导数的几何意义不等式的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

18．已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）求证：当时，关于的不等式在区间上无解．

（其中）

正确答案

（Ⅰ）函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为

（Ⅱ）见解析

解析

（Ⅰ）因为,

所以，

当时，．

令，

得，

所以随的变化情况如下表：

所以在处取得极大值，在处取得极小值．

函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为．

（Ⅱ）证明：不等式在区间上无解，

等价于在区间上恒成立，

即函数在区间上的最大值小于等于1．

因为，

令，得．

因为时，所以．

当时，对成立，

函数在区间上单调递减，

所以函数在区间上的最大值为,

所以不等式在区间上无解；

当时，随的变化情况如下表：

所以函数在区间上的最大值为或．

此时,，

所以

．

综上，当时，关于的不等式在区间上无解。

考查方向

本题主要考察了用导数解决函数的单点区间和极值的问题，属于中档题，是高考的热点，解决此类题的关键：

1、（1）确定函数y＝f(x)的定义域；

（2）求导数y′＝f′(x)；

（3）解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

2、当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值。

易错点

1、导数为零的点不一定是极值点。

2、本题对k的分类讨论不全面导致错误。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的运算不等式的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数．

（Ⅰ）若时，都有解，求的取值范围；

（Ⅱ）若，试证明：对任意，恒成立．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求；（2）要注意对参数的讨论．

（Ⅰ）由得，令，

，，所以在上单调递减，又当趋向于时，

趋向于正无穷大，故，即．

（Ⅱ）由，得，令，

所以，，

因此，对任意，等价于，

由，，得，，

因此，当时，，单调递增；时，，单调递减，所以的最大值为，故，

设，，所以时，，

单调递增，，

故时，，即，

所以．

因此，对任意，恒成立

考查方向

本题考查了利用导数求参数的取值范围，分类讨论，讨论点大体可以分成以下几类：1、根据判别式讨论；2、根据二次函数的根的大小；3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；5、多次求导求解等．

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

1、求导，然后解导数不等式。

2、对参数分类讨论证得结论。

易错点

第二问中的易丢对x的分类讨论。

知识点

导数的运算不等式恒成立问题不等式的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21. 设函数，（）

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若在内有极值点，当，，

求证：.（）

正确答案

（1）函数单调增区间为：，；单调减区间为：，；

（2）略．

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按照步骤来求；（2）要注意对参数的讨论．

（Ⅰ）函数的定义域为，当时，，

令：，得：或，

所以函数单调增区间为：，

，得：，

所以函数单调减区间为：，

（Ⅱ）证明：，

令：，

所以：，，若在内有极值点，

不妨设，则：，且

由得：或，

由得：或

所以在递增，递减；递减，递增

当时，；

当时，

所以：

，

设：，，则

所以：是增函数，所以

又：

所以：

考查方向

本题考查了利用导数求含参数的函数极值，分类讨论，讨论点大体可以分成以下几类：

1、根据判别式讨论；

2、根据二次函数的根的大小；

3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；

4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；

5、多次求导求解等．

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

1、求导，然后解导数不等式，求单调区间。

2、对参数分类讨论证得结论。

易错点

第二问中的易丢对a的分类讨论。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的运算不等式的证明

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