直线与平面垂直的判定与性质
共169题

· 直线与平面垂直的判定与性质

直线与平面垂直的判定与性质
共169题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题 · 10 分

23. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，在上。

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）若为中点，求P到平面AMC的距离；

（3）是否存在，使得二面角余弦值为，若存在，确定位置；若不存在，说明理由。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 5 分

10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,BC⊥平面ABP,且△ABP是B为直角的等腰直角三角形,若AD=AB=2BC,则二面角A-DC-P的平面角为____________.

正确答案

解析

由题意可知BC,BA,BP两两垂直,

分别以BA,BP,BC所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设BA=a(a>0),

则

所以A(a,0,0),D(a,0,),C(0,0,a),P(0,a,0),

显然BP⊥平面ABCD,

所以=(0,a,0)是平面ABCD的一个法向量,

设平面DCP的法向量为n=(x,y,z),

则即

令x=1,则,y=-1,

所以n=(1,-1,-),

则cos􀎮 ,n􀎯 ,

由图观察可知二面角A-DC-P的平面角为锐角,

所以二面角A-DC-P的平面角为.

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 5 分

10.如图,DE平面ABCD,菱形ABCD的边长为2,对角线交于点O,若∠ADC=120°,DE=2,BE上一点F满足OFDE,则直线AF与平面BCE所成角的正弦值为______.

正确答案

解析

∵DE⊥平面ABCD,OF∥DE,∴OF⊥平面ABCD,以O为原点OA,OB,OF分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:

则A(,0,0),B(0,1,0),C(-,0,0),E(0,-1,2),F(0,0,1),=(-,0,1),=(-,-1,0),=(0,-1,1),

设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则⇒取n=(1,-,-),

则cos<,n>===--

设直线AF和平面BCE所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：单选题

单选题 · 5 分

3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥底面ABCD,M是棱PD的中点,N是棱AB上一点,若的值为（）

正确答案

解析

因为点M是线段PD的中点,所以点P,

M到底面ABCD的距离之比为2∶1, ,

所以.

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

2.两个面垂直,经过第一个面内一点且垂直于交线的直线（　　　）

A垂直于第二个平面内

B与第二个平面相交

C平行于第二个平面

DA、B、C均有可能

正确答案

解析

因为经过第一个面内一点且垂直于交线的直线有三种情况,

分别是与第二个平面垂直、相交、平行,

所以选D.

知识点

空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面垂直的判定与性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

4. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）

①//，则；

②；

③ ；

④．

A①和②

B②和③

C③和④

D①和④

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线与平面垂直的判定与性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

4．设a，l是直线，α和β是平面，则下列说法正确的是（）

A若α⊥β，l∥α，则l⊥β

B若α⊥β，l⊥a，则l∥β

C若l∥α，l∥β，则α∥β

D若l∥α，l⊥β，则α⊥β

正确答案

解析

本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是简单。

考查方向

本题主要考查了线面位置关系,在近几年的各省高考题出现的频率较高。

解题思路

无

易错点

本题易在判断线是否在面上发生错误。

知识点

命题的真假判断与应用直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

16．在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。

正确答案

见解析

解析

（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，

又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，

∴AC＝

＝，

∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，

故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，

故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．

（2） BM=2

考查方向

本题考查了立体几何中垂直关系的证明

解题思路

（1）由余弦定理求AC

（2）由勾股逆定理得∠ACB＝90°

（3）AC⊥BC，PC⊥AC，AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB

易错点

证明过程不到位。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=，M为BB1的中点，Ol为上底面对角线的交点．

(I)求证：O1M⊥平面ACM1；

(II)求Cl到平面ACM的距离．

21.求证：O1M⊥平面ACM1；

22.求Cl到平面ACM的距离．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

（Ⅰ）连接AO1，BD在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1⊥AC，∵ 四边形ABCD是边长为2的菱形，∴ AC⊥BD，又∵ BD∩BB1＝B，∴ AC⊥平面DBB1D1，又∵ O1M平面DBB1D1，∴ AC⊥O1M．∵ 直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD＝，M为BB1的中点，∴ BD＝2，AC＝2，B1M＝BM＝1，∴ O1M2＝O1B12＋B1M2＝2，AM2＝AB2＋BM 2＝5，O1A2＝O1A12＋A1A2＝7，∴ O1M2＋AM2＝O1A2，∴ O1M⊥AM．又∵ AC∩AM＝A，∴ O1M⊥平面ACM．

考查方向

本题主要考查空间线面位置关系及点到平面的距离，意在考查考生的空间想象能力及运算求解能力。

解题思路

1.先根据线面垂直证明AC⊥O1M，然后利用数量关系算出O1M⊥AM，然后利用线面垂直的判定定理证明；

易错点

1.第（1）问无法找到线线垂直使问题无法得证；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ACM，即C1到平面ACM的距离等于O1到平面ACM的距离，由（Ⅰ）得O1M⊥平面ACM，且O1M＝，即点C1到平面ACM的距离为．

考查方向

本题主要考查空间线面位置关系及点到平面的距离，意在考查考生的空间想象能力及运算求解能力。

解题思路

先证明线面平行，然后所求距离转换为到面ACM的距离，然后由第（1）问的结论即可求出答案。

易错点

点到面的距离转化到弦到面的距离不会转化；

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值.

正确答案

（1）略

（2）

解析

（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，

所以.

由分别为的中点，得，

所以.

因为侧面底面，且，

所以底面.

又因为底面，

所以.

又因为，平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）因为底面，，

所以两两垂直，故以

分别为轴、轴和轴，如上图建立空间直角坐标系，则

，

所以，，，

设，则，

所以，，

易得平面的法向量.

设平面的法向量为，

由，，得

令, 得.

因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，

所以，即，

所以，解得，或（舍）.

考查方向

本题主要考查立体几何中的线面垂直的证明，以及如何用空间向量去求空间线和面所成的角，难度中档，属高考理科数学中的热点问题。常常与空间线、面的平行于垂直以及二面角、线面角等结合出题。

解题思路

第一问分析底面，证明AC和EF垂直，第二问建立空间直角坐标系，设的值，然后根据这个值表示M点坐标，再来分别表示EM与平面ABCD和PBC所称的角的余弦值，然后列出方程，求出

易错点

1、第一问只能得到而找不到第二组垂直

2、第二问尝试用综合法解决，但是却无法表示ME与平面PBC所成的角；

3、第二问用空间向量解决，却无法根据P和D点坐标表示M点的坐标

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 平面与平面垂直的判定与性质

百度题库 > 高考 > 理科数学 > 直线与平面垂直的判定与性质

扫码查看完整答案与解析