热门试卷

（1）如图所示，设F为AC的中点，由于AD=CD,所以DF⊥AC.

故由平面 ⊥ ,知DF⊥平面,即，。在中，因,AB=2BC,有勾股定理易得.

故四面体ABCD的体积

（2）如图所示设G、H分别为变CD，BD的中点，则FG//AD,GH//BC,,从而是异面直线与所成角或其补角。

设E为边AB的中点，则EF//BC,由⊥，知⊥，又由（1）有DF⊥平面，故由三垂线定理知⊥,所以为二面角--的平面角,由题设知，设AD=a，则DF=ADsinCAD=

在中，，

从而

因，故BD=AD=a.从而，在中，,又

,从而在中，因FG=FH，由余弦定理得,

故异面直线与所成角的余弦值为

（1） 证明 ：在中，因为

所以 

因此 ，故所以

又  所以，

又  ，

所以  ，

所以  。

（2）解法一：

因为  三角形是等腰三角形，

所以  ，

因此  。

又  ，

所以点B到平面的距离等于点A到平面的距离。

由于，在中，，

所以  ，

故  边上的高为2，此即为点A到平面的距离。

所以B到平面平面的距离为。

设直线与平面所成的角为，

则，

又，

所以  。

解法二：

由（1）知两两垂直，分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系，由于三角形是等腰三角形，所以  ，

又，

因此  ，

因为  ，

所以  四边形是个直角梯形，

因为  ，

所以  ，

因此  ，

故  ，

所以  。

因此  ，

设是平面的一个法向量，

则  ，

解得  ，

取，得，

又，

设表示向量与平面的法向量所成的角，

则  ，

所以  ，

因此直线PB与平面PCD所成角为。

（3）因为，

所以  四边形四边形是个直角梯形，

因为  ，

所以  ，

因此  ，

故  ，

所以  。

又  ，

所以  四棱锥P—ACDE的体积。

（1）以直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，所以。∴。

又是平面的一个法向量，    ∵即，

∴∥平面。中学联盟网

（2）设，则，又

设，则，即。

设是平面的一个法向量，则

 ，         ，

取 得   ，    即 

又由题设，是平面的一个法向量，

∴   。

即点为中点，此时，，为三棱锥的高，

∴      。

以H为原点，HA、HB、HP分别为x、y、z轴，线段

HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，

则A（1，0，0），B（0，1，0）。

（1）设C（，0，0），P（0，0，）（，）

则D（0，，0），E（，，0）。

可得，。

因为·，所以PE⊥BC。

（2）由已知条件可得，，故C（，0，0），

D（0，，0），E（，，0），P（0，0，1）。

设为平面PEH的法向量，

则，即，

因此可以取。由（1，0，－1），可得，

所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为。

（1）证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.

因为BC⊂平面PBC.

所以平面PBC⊥平面PAC.

（2）解法一：

过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.

如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。

因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.

因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)。

故＝(，0,0)，＝(0,1,1)。

设平面BCP的法向量为n1＝(x，y，z)，

则

所以

不妨令y＝1，则n1＝(0,1，－1)。

因为＝(0,0,1)，＝(，－1,0)。

设平面ABP的法向量为n2＝(x，y，z)，

则所以

不妨令x＝1，则n2＝(1，，0)，

于是cos〈n1，n2〉＝.

所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.

解法二：

过C作CM⊥AB于M，

因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，

所以PA⊥CM，故CM⊥平面PAB.

过M作MN⊥PB于N，连接NC，

由三垂线定理得CN⊥PB.

所以∠CNM为二面角CPBA的平面角。

在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝，CM＝，BM＝，

在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.

因为Rt△BNM∽Rt△BAP，

所以，故MN＝.

又在Rt△CNM中，CN＝，故cos∠CNM＝.

所以二面角CPBA的余弦值为

证明:(1)∵,∴F分别是SB的中点

∵E.F分别是SA.SB的中点  ∴EF∥AB

又∵EF平面ABC, AB平面ABC ∴EF∥平面ABC

同理:FG∥平面ABC

又∵EFFG=F, EF.FG平面ABC∴平面平面

(2)∵平面平面 平面平面=BC AF平面SAB   AF⊥SB

∴AF⊥平面SBC  又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC

又∵, ABAF=A, AB.AF平面SAB  ∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA