直线与平面垂直的判定与性质
共169题

· 直线与平面垂直的判定与性质

直线与平面垂直的判定与性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点, 平面．

（Ⅰ）证明:平面平面；

（Ⅱ）若,试求二面角的余弦值．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（Ⅰ）依题意

∴是正三角形，，

∵⊥平面，平面，

平面

平面∴平面平面．

（Ⅱ）连接，由题可知，又，故

故以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，故

设面的一个法向量，则，

令，则，，

同理可求出面的一个法向量

故，而由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

考查方向

本题考查了立体几何中的面面垂直和二面角的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查立体几何，解题步骤如下：

1、转化为证明线面垂直。

2、建立空间直角坐标系，利用夹角的余弦公式求解。

易错点

1、第一问中的面面垂直的转化。

2、第二问中二面角求解时要建立适当的空间直角坐标系。

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 14 分

19．多面体ABCDEF中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AF=2，AB=AD=，BC=DC=1，∠BAD=60o，且B、C、E、F四点共面．

（1）求线段DE的长度；

（2）求二面角B-EF-D的大小；

正确答案

（1）DE=1；

（2）

解析

本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）建好空间直角坐标系后，求出各点坐标；

（2）设出点E的坐标，再用共面定理求解出点E的坐标，再求出DE长。

（3）求出法向量再算出夹角。

（1）解：连接AC、BD，△ABD中，AB=AD=，∠BAD=60o，∴BD=，∠ADB=60o

△BCD中，BC=DC=1，∴∠BDC=30o

∴∠ADC=90o，即DA⊥DC

∵DE⊥平面ABCD，∴DA、DC、DE是两两垂直

以点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz，则

点A(,0,0)，B(,,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，F(,0,2)，设E(0,0,h)

∴

∵B、C、E、F四点共面，∴，使得

∴ ，∴ ，∴E(0,0,1)，即DE=1

（2）∵，设平面BEF的法向量为

由，得平面BEF的一个法向量为

∴取平面DEF的一个法向量

∴

∴二面角B-EF-D的余弦值为

考查方向

本题考查了空间向量在立体几何中的应用，如何体现四点共面及二面角的计算，常见的问题有证明类——平行与垂直的证明；计算类——角度（线线角，线面角，二面角）；长度（线度、点面、线面、面面距离）

易错点

1、遗忘共面定理导到出错；

2、二面角与法向量夹角之间是相等还是互补的判断。

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19.四棱锥平面ABCD，2AD=BC=2a，

（I）若Q为PB的中点，求证：；

（II）若，求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小.

（若非特殊角，求出所成角余弦即可）

正确答案

证明 (Ⅰ) 连结,中,由余弦定理:

解得

所以为直角三角形，

因为，所以

又因为平面

所以，因为

所以平面

平面

所以，平面平面

又因为，为中点

所以

因为平面平面

所以平面

平面

所以

(Ⅱ)

可得

取中点

可证得为矩形

以为坐标原点分别以所在直线为轴，

建立空间直角坐标系,

平面

所以面是平面的法向量,

设平面的法向量为

所以

,令

可得

解得:

所以

所以平面与平面所成二面角为

解法2本题也可以采用作出两平面的交线,再作出二面角平面角的方法.

评分标准,作角证角4分,求角2分.

解析

见答案

考查方向

本题主要考查空间向量积，线面垂直、二面角平面角等考点。

解题思路

利用余弦定理求角度，根据相关知识证明结论

易错点

找不到二面角的平面角，空间向量积不会计算

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19.已知四棱柱的底面为正方形，，、分别为棱、的中点.

（1）求证：直线平面；

（2）已知，，取线段的中点，求二面角的余弦值.

正确答案

（1）略

（2）

解析

（1）证明：关键步骤：,则.

（2）由已知可得四棱柱为正方体，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，易求得面的一个法向量为，，则面的一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为.

考查方向

本题主要考查了直线与平面垂直的判定和性质，以及利用空间坐标系求二面角的方法等知识。

解题思路

（1）由线线垂直推出线面垂直。

（2）建立空间坐标系，求法向量，最后求出二面角。

易错点

（1）第一问推理不够严密。

（2）法向量求错，从而导致结果错误。

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

18. 如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD 和 BC，SA=AB = BC=2，AD = 1.M 是棱 SB 的中点.

(1)求证:AM//平面SCD,

(2)求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值,

(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为0，求sin的最大值.

正确答案

（2）

解析

试题分析：（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用平面SCD的法向量即可证明AM∥平面SCD；（Ⅱ）分别求出平面SCD与平面SAB的法向量，利用法向量的夹角即可得出；（Ⅲ）利用线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出．

（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．

则，，．

设平面SCD的法向量是，

则，即令z=1，则x=2，y=﹣1．

于是．

∵，∴．又∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为．设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，则==，即．∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为．

（Ⅲ）设N（x，2x﹣2，0），则．

∴===．

当，即时，．

考查方向

解题思路

建立空间直角坐标系利用平面SCD的法向量即可证明AM∥平面SCD、平面SCD与平面SAB的法向量的夹角求出二面角、线面角的夹角公式、二次函数的单调性是解题的关键．

易错点

1、利用定义求通项公式

2、第二问中错位相减法计算的准确性；

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

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