热门试卷

（1）如图所示，设F为AC的中点，由于AD=CD,所以DF⊥AC.

故由平面 ⊥ ,知DF⊥平面,即，。在中，因,AB=2BC,有勾股定理易得.

故四面体ABCD的体积

（2）如图所示设G、H分别为变CD，BD的中点，则FG//AD,GH//BC,,从而是异面直线与所成角或其补角。

设E为边AB的中点，则EF//BC,由⊥，知⊥，又由（1）有DF⊥平面，故由三垂线定理知⊥,所以为二面角--的平面角,由题设知，设AD=a，则DF=ADsinCAD=

在中，，

从而

因，故BD=AD=a.从而，在中，,又

,从而在中，因FG=FH，由余弦定理得,

故异面直线与所成角的余弦值为

（1） 证明 ：在中，因为

所以 

因此 ，故所以

又  所以，

又  ，

所以  ，

所以  。

（2）解法一：

因为  三角形是等腰三角形，

所以  ，

因此  。

又  ，

所以点B到平面的距离等于点A到平面的距离。

由于，在中，，

所以  ，

故  边上的高为2，此即为点A到平面的距离。

所以B到平面平面的距离为。

设直线与平面所成的角为，

则，

又，

所以  。

解法二：

由（1）知两两垂直，分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系，由于三角形是等腰三角形，所以  ，

又，

因此  ，

因为  ，

所以  四边形是个直角梯形，

因为  ，

所以  ，

因此  ，

故  ，

所以  。

因此  ，

设是平面的一个法向量，

则  ，

解得  ，

取，得，

又，

设表示向量与平面的法向量所成的角，

则  ，

所以  ，

因此直线PB与平面PCD所成角为。

（3）因为，

所以  四边形四边形是个直角梯形，

因为  ，

所以  ，

因此  ，

故  ，

所以  。

又  ，

所以  四棱锥P—ACDE的体积。