直线与平面垂直的判定与性质
共169题

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直线与平面垂直的判定与性质
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题型：简答题

简答题 · 14 分

16．在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。

正确答案

见解析

解析

（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，

又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，

∴AC＝

＝，

∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，

故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，

故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．

（2） BM=2

考查方向

本题考查了立体几何中垂直关系的证明

解题思路

（1）由余弦定理求AC

（2）由勾股逆定理得∠ACB＝90°

（3）AC⊥BC，PC⊥AC，AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB

易错点

证明过程不到位。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图(1)所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图(2)所示．

22.证明：CD⊥平面A1OC；

23.若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

证明：在图(1)中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，BE∥CD.即在图(2)中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又OA1∩OC＝O，OA1⊂平面A1OC，OC⊂平面A1OC，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.

考查方向

空间几何体,直线与平面的角；线面平行的判定

解题思路

第1问利用面面垂直证明线面垂直，第2问先找到二面角的平面角，再利用解直角三角形性质求解。

易错点

找不到二面角，辅助线作不出来

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，又由22题知，BE⊥OA1，BE⊥OC，

所以∠A1OC为二面角A1BE C的平面角，所以∠A1OC＝.如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，所以B(，0，0)E(－，0，0)，A1(0，0，)，C(0，，0)，得＝(－，，0)，＝(0，，－)

＝＝(－，0，0)．设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，

则得取n1＝(1，1，1)；

得取n2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为.

考查方向

空间几何体,直线与平面的角；线面平行的判定

解题思路

第1问利用面面垂直证明线面垂直，第2问先找到二面角的平面角，再利用解直角三角形性质求解。

易错点

找不到二面角，辅助线作不出来

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，是平行四边形，平面，, ，

，. ，，分别为，，的中点．

21.求证：；

22.求平面与平面所成锐二面角的余弦值。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

解：

而

考查方向

本题主要考查空间点线面的位置关系和二面角等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

先证明后即可得到答案；

易错点

找不到而无法证明答案；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

设的中点为，连结，，.

易知所以四点共面

,分别为，，的中点

同理又

二面角即为平面与平面所成的锐二面角

且

就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角

考查方向

本题主要考查空间点线面的位置关系和二面角等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

先证明就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角，后在三角形中解出即可。

易错点

找不到二面角的平面角无法做出答案。

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1．

21.求证：AD⊥平面BFED；

22．点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：(1)在梯形中，

∵∥，

∴∴

∴∴∵平面平面

平面平面，

∴

∴又 ∴

考查方向

本题考察了直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，考察了余弦定理，考察了利用空间坐标系求二面角，

解题思路

该题解题关键在于找到所求内容的突破点

1）根据余弦定理得出BD进而推出

2）由面面垂直得到线面垂直

3）设恰当的参数，建系求二面角，根据参数范围求θ的最小值

易错点

本题容易在上判断出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：

(2)由(1)可建立分别以直线为轴，轴，轴的，如图所示的空间直角坐标系，令 (≤≤),则

∴

设为平面的一个法向量，

由得

取则

∵是平面的一个法向量,

∴

∵≤≤,∴当=时，有最大值.

∴的最小值为

考查方向

本题考察了直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，考察了余弦定理，考察了利用空间坐标系求二面角，

解题思路

该题解题关键在于找到所求内容的突破点

1）根据余弦定理得出BD进而推出

2）由面面垂直得到线面垂直

3）设恰当的参数，建系求二面角，根据参数范围求θ的最小值

易错点

本题容易在上判断出错

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D1E分别为BB1和CC1的中点，AF⊥平面A1DE，其垂足F落在直线A1D上．

21.求证：BC⊥A1D;

22.若A1D=，AB=BC=3,求二面角Cl-A1D-E的平面角的余弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）BC⊥A1D；

解析

（1）∵在直三棱柱中，平面，

又∵平面，∴．

又∵平面，平面，∴．

又∵分别为和的中点，∴，∴．

而平面，平面，且，

∴平面．

又∵平面，∴．

考查方向

本题主要考查了空间中线线垂直和二面角的平面角的余弦值。

解题思路

（1）通过证明线面垂直证线线垂直（2）利用空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量再计算

易错点

忽视证明线线垂直的条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）由（1）知平面，平面，从而，如图，以为原点建立空间直角坐标系．

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

∵，∴，

则由，知，∴，

则，，，，，，．

设平面的一个法向量，则

由，得，取，可得．

设平面的一个法向量，则

由，得，取，可得，

∴，

∴二面角平面角的余弦值是．

考查方向

本题主要考查了空间中线线垂直和二面角的平面角的余弦值。

解题思路

（1）通过证明线面垂直证线线垂直（2）利用空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量再计算

易错点

忽视证明线线垂直的条件

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