- 直线与平面垂直的判定与性质
- 共169题
如图，在底面是正方形的四棱锥
（1）求证：
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由；
（3）当二面角
正确答案
见解析
解析
知识点
设m，n是两条不同的直线，
Am⊥
B
C
D
正确答案
解析
略
知识点
如图5，在四棱锥
2的菱形，且DAB=60. 侧面PAD为正三角形，其所在的平
面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.
（1）求证：BG平面PAD；
（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；
（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.
正确答案
见解析。
解析
（1）证明：连结BD.
因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以ABD为正三角形.
又G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面PAD.
（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.
∵PG平面PAD，由（1）可得：PG⊥GB. 又由（1）知BG⊥AD.
∴PG、BG、AD两两垂直.
故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系
所以
设平面PCD的法向量为
令
又平面PBG的法向量可为
设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为
∴
即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为
（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.
取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H.
因为E、G分别为BC、AD的中点，所以四边形CDGE为平行四边形，
故H为CG的中点. 又F为CP的中点，所以FH//PG.
由（2），得PG平面ABCD，所以FH平面ABCD.
又FH平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.
知识点
等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足
（1）求证：
（2）在线段BC上是否存在点P，使直线
正确答案
见解析
解析
知识点
已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点.沿直线BD将△BCD翻折成△B
（1）求证：
（2）求直线BD与平面
正确答案
见解析。
解析
知识点
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