热门试卷

（1）函数的定义域为，，

令，其中.

考虑到在上有定义，故… ①; 又g(x)是关于x的二次函数,且开口向上，根据题意，函数在区间上只能为单调递增函数，从而只需对任意的恒成立，即对任意的恒成立.

法一：显然当时，成立；当时，，要使此式恒成立，则.… ②；当时，，要使此式恒成立，则…③.综合①②③所述，所求的实数的取值范围为.

或法二：中的⊿=.（1）当⊿时，即得：… ②

（2）当⊿，由即由此解得：…③.综合①②③所述，所求的实数的取值范围为.

（2）要使得函数有两个极值点，则在上有两个不同的零点，设为，且.

由于有两个零点，则，解得.

①当时，的对称轴，，.

则的草图如图1所示，此时在上无零点，即函数f（x）无极值点，不符合条件.

②时，的对称轴，，

.则的草图如图2所示.

此时在上有两个不同的零点，且.

故.

由此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.故的极大值为，极小值为.

考虑到是的两根，故.

从而

.

综合上述，所求的实数的范围为，的各极值的和.

本小题主要考查函数、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程的思想，数形结合的思想，化归与转化思想。

解法一：（1）由，且，………………………………2分

解得，…………………………………………3分

（2）（i），.

令 ,…………………………………………4分

当即时，，

所以在上单调递减，

此时只存在一个零点，不合题意；………………………………………5分

当时，令，解得.

当变化时，和变化情况如下表：

…………………………………………6分

由题意可知，.

设，

当时，即，此时恰有一个零点，不合题意；…………… 7分

当且时，，………………………………8分

当时，，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，此时恰有两个零点。

综上，的取值范围是.…………………………………………9分

（ii）证明：函数有两个零点，

，

两式相减得，

，…………………………………………10分

要证，

只要证，只要证，

只要证，……………………………11分

只要证，…………………………………………12分

设，则，

在（1，+∞）上单调递增，………………………………13分

，

 ，…………………………………………14分

解法二：（1），（2）（i）同解法一。

（ii）显然，故是函数的一个零点，不妨设，…………………10分

由是函数的另一个零点，

所以，即.……………………………11分

又，…………………12分

设，且，

，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故，…………………………………………13分

所以的单调递增区间为和。

又，

当时，，当时，,

所以，即.…………………14分

（1）由题意可得，…4分

由可得，所以 ………………6分

（2） ………………7分

令，得，存在，使得………………8分

当时，，当时，

故当时，取最小值………………11分

此时，点到地面的距离………………12分

答：当点到地面的距离为（）时，四根金属支架总长度最短.…13分