函数的概念及其构成要素
共2084题

· 函数的概念及其构成要素

函数的概念及其构成要素
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题型：简答题

简答题 · 15 分

已知函数

（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的最大值；

（2）若，关于的方程有唯一解，求实数a的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）依题意：

在上递增，对恒成立

即对恒成立，只需.

当且仅当时取，

故的最大值为.

（2）记g (x) = f (x) –2ax = x 2–2a lnx –2ax,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；

令,得，因为，

所以（舍去），，

当时，，在是单调递减函数；

当时，，在上是单调递增函数。

当x=x2时, ，，

因为有唯一解，所以。

则即

两式相减得因为a>0，所以。

设函数，

因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解。

因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 4 分

已知函数.那么对于任意的，函数y的最大值为。

正确答案

解析

函数可化为：

设，则所以直线

与圆有公共点，从而有得于是，得得

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知，是的导函数，且.

（1）若不是的极值点，求的值.

（2）若函数有零点，求的取值范围.

正确答案

见解析

解析

解：（1）由得，

不是的极值点，所以是方程的根，得

（2）

①当时，在上递增，上递减，

当即时，若函数有零点

②当时，，

由零点存在定理，在内有零点，从而在内有零点

所以当时，函数有零点.

的最大值为，当时取得.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

设函数若a>b>1,且f (a)=f (b) ,则的取值范围为

A(-2,3)

B(-2,2)

C(1,2)

D(-1,1)

正确答案

解析

作出函数f(x)的图象，得由a>b>1,且f(a)=f(b),得整理得,

设则=1=,

，,所以

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 15 分

已知,函数，（为自然对数的底数），

（1）求证：；

（2）若且恒成立，则称函数的图像为函数，的边界.已知函数，试判断“函数，以函数的图像为边界”和“函数，的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数的值；若不能同时成立，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）记则令，因为，所以

所以函数在上单调递减，在）上单调递增.

即所以

（2）由（1），知对恒成立，当且仅当时等号成立，记，则“恒成立”与“函数的图象有且仅有一个公共点”同时成立，即对恒成立，当且仅当时等号成立，所以函数在时取极小值，注意到，由，解得，此时由知，函数在上单调递减，在上单调递增，即综上，两个条件能同时成立，此时

知识点

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