圆锥曲线中的探索性问题
共76题

· 圆锥曲线中的探索性问题

圆锥曲线中的探索性问题
共76题

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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆与双曲线有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线，设直线交抛物线于P、Q两点，且

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点R(m，n)，使得直线与圆相交于不同的两点M、N，且△OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的△OMN的面积；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知抛物线：，直线与抛物线交于、不同两点，且。

（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；

（2）设直线为线段的中垂线，请判断直线是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，说明理由；

（3）记点、在轴上的射影分别为、，记曲线是以为直径的圆，当直线与曲线的相离时，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为：

（2）设，，∵、是不同的两点，∴且不与轴垂直

∵，∴，，∴中点的坐标为

∴…

讨论：当时，直线的斜率，∴直线的方程为：，即，令得，即直线恒过定点

当时，直线的方程为：，也过点，故恒过定点

（3）由第（2）问可设直线的方程为：，即

联立，消去得，所以即，所以

所以以为直径的圆的方程为

当直线与曲线相离时，圆心到直线的距离，即

所以，即，即，

所有，即，所以或

又，且，所以或，即，或，或，或，

的范围为

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆C的中点在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

以椭圆的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足.

（1）求椭圆C及其“准圆”的方程；

（2）若椭圆C的“准圆”的一个弦ED（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，试证明：当时，试问弦ED的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点。

（1）求曲线的方程；

（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；

（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值。

正确答案

见解析。

解析

（1）设圆心的坐标为，半径为

由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动

圆与圆只能内切

………………………………………2分

圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，

故圆心的轨迹： …………………………………………………………4分

（2）设，直线，则直线

由可得：，

……………………………6分

由可得：

………………………………8分

和的比值为一个常数，这个常数为……………………………………9分

（3），的面积的面积，

到直线的距离

…………………………11分

令，则

（当且仅当，即，亦即时取等号）

当时，取最大值……………………………………………………13分

知识点

定义法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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