圆锥曲线中的探索性问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知椭圆E：的四个顶点构成一个面积为的四边形，该四边形的一个内角为60°．

24．求椭圆的方程；

25.直线l与椭圆E相交于A，B两个不同的点，线段AB的中点为C，O为坐标原点，若△OAB面积为，求的最大值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意讨论直线不存在斜率的特殊情况；

（Ⅰ）由题解得，

所以椭圆E的方程为．

考查方向

本题主要考查了椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系的考查主要分以下几类：1.由弦长有关的问题，2.与弦的中点有关的问题，3.与对称有关的问题.

解题思路

本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系，解题步骤如下：

1）利用椭圆的内接四边形和椭圆的几何元素间的关系进行求解；

2）联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程；

3）利用判别式、根与系数的关系和弦长公式求弦长；

4）利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式求面积表达式；

5）利用基本不等式求最值。

易错点

1）忽视椭圆顶点的对称性；

2）忽视基本不等式求最值时的取等条件.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）2.

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意讨论直线不存在斜率的特殊情况；

（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

(1)当l的斜率不存在时，A，B两点关于x轴对称，

由△OAB面积，可得，

(2)当l的斜率存在时，设直线l：，

联立方程组消去y，得，

由得，

则，，（*）

，

原点O到直线l的距离，

所以△OAB的面积，

整理得，即

所以，即，满足，

结合（*）得，，

则C，所以，

，

所以，

当且仅当，即m＝±1时，等号成立，

故，综上的最大值为2．

考查方向

本题主要考查了椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系的考查主要分以下几类：1.由弦长有关的问题，2.与弦的中点有关的问题，3.与对称有关的问题.

解题思路

本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系，解题步骤如下：

1）利用椭圆的内接四边形和椭圆的几何元素间的关系进行求解；

2）联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程；

3）利用判别式、根与系数的关系和弦长公式求弦长；

4）利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式求面积表达式；

5）利用基本不等式求最值。

易错点

1）忽视椭圆顶点的对称性；

2）忽视基本不等式求最值时的取等条件.

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．如图，B是AC的中点，，P是矩形内（含边界）的一点，且+。有以下结论：①当时，；②当是线段的中点时，；③若为定值，则在平面直角坐标系中，点的轨迹是一条线段；④的最大值为－1；其中你认为正确的所有结论的序号为 ▲ 。

正确答案

②③④

解析

因为+，当时，点在上，故，所以①错误；当是线段的中点时

所以，②正确；若为定值1时，三点共线，又是矩形内（含边界）的一点，所以点的轨迹是一条线段，③正确；当点在点时，最大-1，④正确；正确的序号为②③④。

考查方向

本题主要考查数量积坐标表示的应用。

解题思路

1）由已知条件，+，得到点的位置；

2）由平面向量基本定理得到的关系；

易错点

本题向量共线的充要条件，以及平面向量基本定理运用时容易出现错误。

知识点

向量在几何中的应用平面向量的综合题用其它方法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知抛物线，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”. 设、为方程（）的两个实根，记.

24.求点的“特征直线”的方程；

25.已知点在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点. 求证：；

26.已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、. 求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）.；

解析

（1）由题意的斜率为1，

所以点的“特征直线”的方程为.

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

1根据题意直接求出“特征直线”的方程为.

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）.；

解析

设点，由于双曲线所求渐进线的斜率为

所以，进而得

线段的方程为

所以满足

所对应方程为：，解得，

因为，所以，进而

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

线根据渐近线方程求出，进而得到点（a,b）满足的方程；

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

(3)设，，则、的方程分别为

，，

解、交点可得，，

所对应的方程为：，

得

必要性：因为点在线段上，所以

当时，，得，

所以，进而

① 充分性：由，得，

当时，，得，

当时，得，得，

所以点在线段上.

综上，点在线段上的充要条件为

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

先证明结论的充分性，后证明其必要性。

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆的焦点分别为.

25.求以线段为直径的圆的方程；

26.过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

;

解析

试题分析：本题是直线与圆锥曲线综合应用问题，解题时利用椭圆定义完成第一问。再由“”转换成“”，再利用韦达定理去完成。

（I）因为，，所以.

所以以线段为直径的圆的方程为.……………………………3分

考查方向

本题考查椭圆、圆的标准方程和几何性质、直线方程与圆锥曲线综合应用等基础知识和方法，考查用代数的方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想应用，意在考查运算能力和分析推理能力，较难。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线综合应用问题，解题步骤如下：根据题意直接写出以线段为直径的圆的方程即可。本题第二问由“”转换成“”再利用韦达定理去研究，得到结论。

易错点

本题第二问在“”的理解和转换成“”上极易出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

。

解析

试题分析：本题是直线与圆锥曲线综合应用问题，解题时利用椭圆定义完成第一问。再由“”转换成“”，再利用韦达定理去完成。

则直线和的斜率存在,分别设为,.

等价于.

依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为.

由，得.

因为直线与椭圆有两个交点，所以.

即，解得.

设，,则，，

，.

令，

,

当时，，

所以，

化简得，，

所以.

当时，也成立.

所以存在点，使得.……………………………14分

考查方向

本题考查椭圆、圆的标准方程和几何性质、直线方程与圆锥曲线综合应用等基础知识和方法，考查用代数的方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想应用，意在考查运算能力和分析推理能力，较难。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线综合应用问题，解题步骤如下：根据题意直接写出以线段为直径的圆的方程即可。本题第二问由“”转换成“”再利用韦达定理去研究，得到结论。

易错点

本题第二问在“”的理解和转换成“”上极易出错。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.已知抛物线与双曲线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

根据题意，抛物线焦点F(2,0)

设因为MF=5,所以

所以，代入

中，可得

所以，双曲线的渐近线为即

所以选A

考查方向

双曲线的性质，抛物线的性质

解题思路

设出相应关键点的坐标，根据题意寻求等量关系，建立方程，最后求解参数

易错点

计算能力弱

教师点评

解析几何问题一般是设出参数，然后找到等量关系求解方程，进而求出参数的值

知识点

圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

正确答案

ＬＵＥ

知识点

圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：简答题

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单选题

市场营销组合的特点有( )

A．对企业来说都是“不可控因素”
B．是一个单一结构
C．是一个静态组合
D．要受企业市场定位战略的制约

正确答案

D

解析

暂无解析

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求曲线C的方程；

（2）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

正确答案

21．（1）设点，，依题意，

，且，

所以，且

即且

由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，

于是，故，代入，可得，

即所求的曲线的方程为

（2）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.

（2）当直线的斜率存在时，设直线，

由消去，可得.

因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，

所以，即. ①

又由可得；同理可得.

由原点到直线的距离为和，可得

. ②

将①代入②得，.

当时，；

当时，.

因，则，，所以，

当且仅当时取等号.

所以当时，的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：简答题

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简答题 · 7 分

20. 如图，双曲线的左、右焦点、，过作直线交轴于点；

（1）当直线平行于的一条渐近线时，求点到直线的距离；

正确答案

2

右支上不存在

解析

双曲线的焦点在轴上，，则双曲线的左右焦点分别为，过做直线，设直线的斜率为，交轴于Q，当直线平行于双曲线的一条渐近线时，不妨令，则直线的方程为，即

，则点到直线的距离为

当直线的斜率为1时，直线的方程为，则点，假设双曲线上存在点，则；,，即

，与双曲线方程联立，消去，得，此方次无正实数根，所以不存在P在右支上。

设直线的方程为，联立方程组，消去得

，设，则，，设，,,即

，又因为M为双曲线上一点，即，由，化简得，又在双曲线上，所以，，，=21，解得或，所以直线的方程为。

考查方向

直线和圆锥曲线的综合问题。

解题思路

先求出焦点坐标以及直线的方程，再根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离即可。

写出直线的方程求出Q点，再设出代入即可得到，再根据P在双曲线上将和双曲线方程联立看是否有解。

设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理可得，，

则，,，M为双曲线上一点，即，，而

=21，解得或，所以直线的方程为

易错点

计算要仔细。

①计算要准确仔细②注意计算技巧

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.（本题满分12分）

已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为.

（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.

正确答案

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或.

试题分析：（Ⅰ）题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦的中点，并寻找两条直线斜率关系；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中结论，设直线方程并与椭圆方程联立，求得坐标，利用以及直线过点列方程求的值.

试题（Ⅰ）设直线，，，.

将代入得，故，

.于是直线的斜率，即.所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.

（Ⅱ）四边形能为平行四边形.

因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，.

由（Ⅰ）得的方程为.设点的横坐标为.由得，即.将点的坐标代入直线的方程得，因此.四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即.于是

.解得，.因为，，，所以当的斜率为

或时，四边形为平行四边形.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

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