圆锥曲线中的探索性问题
共76题

· 圆锥曲线中的探索性问题

圆锥曲线中的探索性问题
共76题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

正确答案

ＬＵＥ

知识点

圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

单选题

市场营销组合的特点有( )

A．对企业来说都是“不可控因素”
B．是一个单一结构
C．是一个静态组合
D．要受企业市场定位战略的制约

正确答案

解析

暂无解析

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求曲线C的方程；

（2）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

正确答案

21．（1）设点，，依题意，

，且，

所以，且

即且

由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，

于是，故，代入，可得，

即所求的曲线的方程为

（2）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.

（2）当直线的斜率存在时，设直线，

由消去，可得.

因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，

所以，即. ①

又由可得；同理可得.

由原点到直线的距离为和，可得

. ②

将①代入②得，.

当时，；

当时，.

因，则，，所以，

当且仅当时取等号.

所以当时，的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 7 分

20. 如图，双曲线的左、右焦点、，过作直线交轴于点；

（1）当直线平行于的一条渐近线时，求点到直线的距离；

正确答案

右支上不存在

解析

双曲线的焦点在轴上，，则双曲线的左右焦点分别为，过做直线，设直线的斜率为，交轴于Q，当直线平行于双曲线的一条渐近线时，不妨令，则直线的方程为，即

，则点到直线的距离为

当直线的斜率为1时，直线的方程为，则点，假设双曲线上存在点，则；,，即

，与双曲线方程联立，消去，得，此方次无正实数根，所以不存在P在右支上。

设直线的方程为，联立方程组，消去得

，设，则，，设，,,即

，又因为M为双曲线上一点，即，由，化简得，又在双曲线上，所以，，，=21，解得或，所以直线的方程为。

考查方向

直线和圆锥曲线的综合问题。

解题思路

先求出焦点坐标以及直线的方程，再根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离即可。

写出直线的方程求出Q点，再设出代入即可得到，再根据P在双曲线上将和双曲线方程联立看是否有解。

设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理可得，，

则，,，M为双曲线上一点，即，，而

=21，解得或，所以直线的方程为

易错点

计算要仔细。

①计算要准确仔细②注意计算技巧

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.（本题满分12分）

已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为.

（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.

正确答案

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或.

试题分析：（Ⅰ）题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦的中点，并寻找两条直线斜率关系；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中结论，设直线方程并与椭圆方程联立，求得坐标，利用以及直线过点列方程求的值.

试题（Ⅰ）设直线，，，.

将代入得，故，

.于是直线的斜率，即.所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.

（Ⅱ）四边形能为平行四边形.

因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，.

由（Ⅰ）得的方程为.设点的横坐标为.由得，即.将点的坐标代入直线的方程得，因此.四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即.于是

.解得，.因为，，，所以当的斜率为

或时，四边形为平行四边形.

解析

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知识点

椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

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