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1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

函数的图象大致是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

是虚数单位,若,则等于(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

知识点

集合的含义
1
题型:简答题
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简答题 · 18 分

过坐标原点作倾斜角为的直线交抛物线点,过点作倾斜角为的直线交轴于点,交点;过点作倾斜角为的直线交轴于点,交点;过点作倾斜角为的直线,交轴于点,交点;如此下去……,又设线段的长分别为,数列的前项的和为

(1)求

(2)求

(3)设,数列的前项和为,若正整数成等差数列,且,试比较的大小。

正确答案

(1),(2),(3)

解析

(1)如图,由是边长为的等边三角形,得点的坐标为,又在抛物线上,所以,得

同理在抛物线上,得

(2)如图,法1:点的坐标为,即点,所以直线的方程为,因此,点的坐标满足

消去 ,    所以

,故

从而  ……①

由①有  ……②

②-①得

,又,于是

所以是以为首项、为公差的等差数,

(3)因为

所以数列是正项等比数列,且公比,首项

因正整数成等差数列,且,设其公差为,则

为正整数,所以

… 2分

=

因为,所以

为正整数,所以同号,

,所以,

知识点

集合的含义
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知双曲线的中心为原点,左,右焦点分别为,离心率为,点是直线上任意一点,点在双曲线上,且满足

(1)求实数的值;

2)证明:直线与直线的斜率之积是定值;

(3)若点的纵坐标为,过点作动直线与双曲线右支交于不同两点,在线段上取异于点的点,满足,证明点恒在一条定直线上。

正确答案

见解析。

解析

(1)解:设双曲线的半焦距为

由题意可得

解得

(2)证明:由(1)可知,直线,点,设点,

因为,所以

所以

因为点在双曲线上,所以,即

所以

所以直线与直线的斜率之积是定值

(3)证法1:设点,且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点,由(2)知

,则

整理,得

由①×③,②×④得

代入⑥,得。    ⑦

将⑤代入⑦,得

所以点恒在定直线上。

证法2:依题意,直线的斜率存在。

设直线的方程为

消去

因为直线与双曲线的右支交于不同两点

则有

设点,由,得

整理得

将②③代入上式得

整理得。                             ④

因为点在直线上,所以,                ⑤

联立④⑤消去

所以点恒在定直线上。

知识点

集合的含义
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过两点。

(1)求椭圆的方程;

(2)若平行于的直线轴上的截距为,直线交椭圆于两个不同点,直线的斜率分别为,求证:

正确答案

见解析

解析

(1)设椭圆的方程为

代入椭圆的方程,得

解得,所以椭圆的方程为

设点的坐标为,则

上的动点,所以,得,代入上式得

时,的最大值为

(2)因为直线平行于,且在轴上的截距为,又,所以直线的方程为,由 得

,则

所以上式分子

所以直线与直线的倾斜角互补。

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知命题,命题,则p是q的

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

曲线上的点到直线的距离的最小值为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

知识点

集合的含义
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

对于函数,若存在区间,则称函数为“同域函数”,区间A为函数的一个“同城区间”.给出下列四个函数:

;②;③;④log.

存在“同域区间”的“同域函数”的序号是_______________(请写出所有正确的序号)

正确答案

①②③

解析

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知是实数,是纯虚数,则等于(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

是纯虚数,则选A

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

在区间之间随机抽取一个数,则 满足的概率为(    )

A.

B

C

D

正确答案

A

解析

区间看作总长度为2,区间中满足的只是,长度为,因为是随机抽取的一个数,由几何概型计算公式知 满足的概率为.答案:

知识点

集合的含义
下一知识点 : 命题及其关系、充分条件与必要条件
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