- 基本初等函数（1）
- 共14786题
两个重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车．已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次．
（1）若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；
（2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．
正确答案
（1）设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意y=kx+b…（1分）
由已知可得方程组：
解得：k=-2，b=24…（3分）
∴y=-2x+24
（2）设每日火车来回y次，每次挂x节车厢，设每日可营运S节车厢．
由题意知，每日挂车厢最多时，营运人数最多，则S=xy=x（-2x+24）=-2x2+24x=-2（x-6）2+72…（6分）
所以当x=6时，Smax=72（节） …（7分）
此时y=12，故每日最多运营人数为110×72=7920（人）
答：这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920人．…（8分）
假设A型进口车关税税率在2002年是100%，在2007年是25%，2002年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．
（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2002年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2007年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？
（2）某人在2002年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8%（5年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的B型车一辆？
正确答案
（1）2007年A型车价为32+32×25%=40（万元）
设B型车每年下降d万元，2002，20032007年B型车价格为：（公差为-d）
a1，a2，…，a6，∴a6≤40×90%∴46-5d≤36 d≥2
故每年至少下降2万元
（2）2007年到期时共有钱
33×（1+1.8%）5＞33（1+0.09+0.00324+…）=36.07692＞36（万元）
故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车．
现有A、B两箱糖果，如果从A箱中取出100块放进B箱，那么B箱中的糖果比A箱多一倍．相反，如果从B箱中取出一些放进A箱，那么A箱中的糖果是B箱的6倍．问A箱中的糖果最少有多少块？此时，B箱有多少块糖果？
正确答案
设A、B两箱糖果数分别为x、y，并设从B箱中取出z块糖放进A箱，由题意可得
由此可知：x=
由上面消去y得到x=
当z最小为21时，x=177＞150，y=54，满足x+z=6（y-z）．
故A箱中的糖果最少有177块，此时，B箱有54块糖果．
有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？
正确答案
设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1=a（1+20%）5（1+10%）5=a（1.2×1.1）5≈4a．
乙方案在10年后树木产量为y2=2a（1+20%）5=2a•1.25≈4.98a．
∴y1-y2=4a-4.98a＜0，
因此，乙方案能获得更多的木材（不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算）．
（1）若a2＞b＞a＞1，则logb
（2）若2x=3y=5z，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为______；
（3）设x＞0，且ax＜bx＜1（a＞0，b＞0），则a，b和1的大小关系为______．
正确答案
（1）∵a2＞b＞a＞1，
∴a＞
∴logab＞logba＞logb
故答案为：logab＞logba＞logb
（2）令2x=3y=5z=t，则t＞1，x=
∴2x-3y=
同理可得：2x-5z＜0，∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z．
故答案为：3y＜2x＜5z．
（3）∵x＞0，且ax＜bx＜1（a＞0，b＞0），
∴取x=1，得a＜b＜1，
故答案为：a＜b＜1．
某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．
（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？
正确答案
一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的
正确答案
设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩留量是y，则有y=0.75x．
依题意，得
即
∴估计约经过4年，该物质的剩留量是原来的
某青年企业家准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建．据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元/天•间（没住宿的不支出）．问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？
正确答案
设每天的房价为60+5x元，
则有x个房间空闲，已住宿了30-x个房间．
∴度假村的利润y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30．
∴y=（30-x）•5•（8+x）
=5（240+22x-x2）
=-5（x-11）2+1805．
因此，当x=11时，y取得最大值1805元，
即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大．
某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部．已知年销售收入为H(x)=500x-
（1）若x为年产量，y表示年利润，求y=f（x）的表达式．（年利润=年销售收入-投资成本（包括固定成本））
（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？
正确答案
（1）当0≤x≤500时，产品全部售出
∴W=500x-
即 W=-
当x＞500时，产品只能售出500台
∴W=500×500-
即，W=-25x+120000（4分）
（2）当0≤x≤500时，W=-
当x＞500时，W=120000-25x＜120000-25×500=107500（8分）
故当年产量为475台时取得最大利润，且最大利润为107812.5元，最佳生产计划475台．（10分）
甲、乙两同学同时从A地出发沿同一条线路前往B地，甲同学前一半时间以速度v1行走，后一半时间以速度v2行走；乙同学前一半路程以速度v1行走，后一半路程以速度v2行走，已知v1＞0，v2＞0且v1≠v2，A，B两地之间路程为s．
（1）分别求甲、乙两同学从A到B所用的时间（用v1，v2，s表示）；
（2）甲、乙两同学谁先到达B地？说明理由．
正确答案
（1）设甲走完全程所用时间为t甲，乙走完全程所用时间为t乙，
由题意得，v1×
而t乙=
（2）
因为当v1≠v2时，（v1+v2）2＞4v1v2，
所以 
某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k（k＞0），贷款的利率为6%，又银行吸收的存款能全部放贷出去．
（1）若存款的利率为x，x∈（0，0.06），试分别写出存款数量g（x）及银行应支付给储户的利息h（x）与存款利率x之间的关系式；
（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？
正确答案
（1）由题意，存款量g（x）=kx，x∈（0，0.06），
银行应支付的利息h（x）=x•g（x）=kx2，x∈（0，0.06），
（2）设银行可获收益为y，则y=0.06•kx-kx2
y=kx•6%-kx2=k[-（x-0.03）2+0.0009]得 x=0.03
答：存款利率定为3%时，银行可获得最大收益．
某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）的每平方米的平均建筑费用与楼层有关，若该楼建成x层时，每平方米的平均建筑费用用f（x）表示，且f（n）=f（m）（1+
正确答案
设该楼建成x层，则每平方米的购地费用为：
每平方米的平均建筑费用为：由f（5）=400，知f（x）=f（5）（1+
从而每平方米的综合费用为y=f（x）+
故当该楼建成8层时，每平方米的综合费用最省．
某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩．
（1）若所植树苗全部成活，则到哪一年年初植树后可以将荒山全部绿化？
（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量自然增长率为20%，求全部绿化后的那一年年底该山林的木材总量（精确到1立方米，1.28≈4.3）．
正确答案
（1）设植树n年后可将荒山全部绿化，记第n年初植树量为an，
由题意数列{an}是首项为a1=100，公差d=50的等差数列，
所以100n+
∴n2+3n-88=0，
∴（n+11）（n-8）=0．
∵n∈N*，
∴n=8．
∴到2009年年初植树后可以将荒山全部绿化．
（2）设2002年初木材存量为2a1m3，到2009年底木材存量增加为2a1×1.28m3，
2003年初木材存量为2a2m3，到2009年底木材存量增加为2a2×1.27m3，
…，
2009年初木材存量为2a8m3，到2009年底木材存量增加为2a8×1.2m3
则到2009年底木材总量为S=2a1×1.28+2a2×1.27+2a3×1.26+…+2a8×1.2
S=900×1.2+800×1.22+…+400×1.26+300×1.27+200×1.281.2×S=900×1.22+800×1.23+…+400×1.27+300×1.28+200×1.29
作差得：0.2S=200×1.29+100（1.22+1.23+…+1.28）-900×1.2=840×1.28-1800≈840×4.3=1812
∴S=9060m3
答：到全部绿化后的那一年年底，该山林的木材总量9060立方米．
已知某市2000年底人口为100万，人均住房面积为5平方米，如果该市每年人口平均增长为2%，到2001年底新增住房面积10万平方米，以后每年新增住房面积比前一年新增住房面积多10万平方米，试问到2010年底，该市人均住房面积为多少平方米？（精确到0.01）
正确答案
依题意
从2000年开始，人口数组成首项b1=100，公比q=1.02的等比数列
所以到2010年底该市人口数为100×1.0210=192.66（万人）
2000年共有住房面积为5×100=500（万平方米）
设从2000年开始，各年住房面积是首项a1=500，公差10的等差数列
到2010年底，该市共有住房面积为600（万平方米）
故到2010年底，该市人均住房面积为192.66÷600≈0.32平方米
某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个，商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？这时应进货多少个？
正确答案
设售价应定为x元．
（x-40）[500-（x-50）×10]=8000．
解得x1=60，x2=80．
∵兼顾顾客的利益，
∴售价为60元．
此时的销售量为500-（x-50）×10=400，
∴进货量应在400和500之间．
答：售价为60元；进货量应在400和500之间．
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