- 基本初等函数（1）
- 共14786题
某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表：
（注：本地话费以分钟为单位计费，长途话费以6秒钟为单位计费）
若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间（分钟）的范围在区间（60，70）内，请选择较为省钱的网络并说明理由．
正确答案
设长途时间为x分钟，则本地时间为5x分钟，则10≤x≤
甲的费用S1=12+2.4x
乙的费用S2=3.7x
∵S2-S1=1.3x-12≥1.3×10-12=1＞0
∴S2＞S1
∴甲省钱
答：联通130网省钱．
某家庭对新购买的商品房进行装潢，设装潢开始后的时间为t（天），室内每立方米空气中甲醛含量为y（毫克）．已知在装潢过程中，y与t成正比；在装潢完工后，y与t的平方成反比，如图所示．
（Ⅰ）写出y关于t的函数关系式；
（Ⅱ）已知国家对室内甲醛含量的卫生标准是甲醛浓度不超过0.08毫克/立方米．按照这个标准，这个家庭装潢完工后，经过多少天才可以入住？
正确答案
（Ⅰ）设直线OA：y=at，将点A（40，0.5）代入直线方程，得a=
即y=
设y=
（8分）y关于t的函数是y=
（Ⅱ）由题意知，
又100-40=60（天）
答：按这个标准，这个家庭在装潢后60天方可入住．（15分）
用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
正确答案
设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+0.5）m，
高为
由3.2-2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，
设容器的容积为ym3，则有y=x（x+0.5）（3.2-2x）（0＜x＜1.6）
整理，得y=-2x3+2.2x2+1.6x，（4分）
∴y'=-6x2+4.4x+1.6（6分）
令y'=0，有-6x2+4.4x+1.6=0，即15x2-11x-4=0，
解得x1=1，x2=-
从而，在定义域（0，1，6）内只有在x=1处使y'=0．
由题意，若x过小（接近0）或过大（接受1.6）时，y值很小（接近0），
因此，当x=1时y取得最大值，y最大值=-2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2-2×1=1.2．
答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3．（12分）
某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和支付费用如表所示该市煤气收费方法是：煤气费=基本费+超额费+保险费．若该月用气量不超过最低量Am3，那么只付基本费3元和每户每月的客额保险费C元；若用量超过Am3，那么超出部分付超额费，每m3为B元，又知保险费C不超过5元，试根据上述条件及数据求A、B、C的值．
正确答案
设月用气量为xm3，支付煤气费为y元，依题意有：
y=
∴二、三月份煤气费满足②，即
若一月份用气量超过Am3，则4＞A
∴4=3+0.5（4-A）+C得A=2+2C与A=3+2C矛盾
∴4=3+C，C=1，A=5，B=0.5
某医院为了提高服务质量，进行了下面的调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号．开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，请你解决以下问题：
（Ⅰ）若要求8分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放几个窗口？
（Ⅱ）若医院做出承诺，开始挂号后每人等待的时间不超过25分钟，问：若N=60，当只开放一个窗口时，能否实现做出的承诺？
正确答案
（Ⅰ）设要同时开放x个窗口才能满足要求，
则
由（1）、（2）得
代入（3）得60M+8M≤8×2.5Mx，解得x≥3.4．
故至少同时开放4 个窗口才能满足要求．
（Ⅱ）N=60时，K=2.5，M=1，设第n个人的等待时间为f（n）．
当n≤60时，第n个人的等待时间为他前面的n-1个人挂号完用去的时间；
当n＞60时，第n个人的等待时间为他前面的n-1个人挂号．
用去的时间减去他在开始挂号后到来挂号用去的时间，即
f（n）=
当n≤60时，则当n=60时，f（n）取最大值为23.6分钟．
当n＞60时，则当n=61时，f（n）取最大值为23分钟．
故等待时间最长为23.6分钟，说明能够实现承诺．
某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
正确答案
（1）当x≤6时，y=50x-115，令50x-115＞0，解得x＞2.3．
∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．
当6＜x≤20时，y=[50-3（x-6）]x-115=-3x2+68x-115
综上可知y=
（2）当3≤x≤6，且x∈N时，∵y=50x-115是增函数，
∴当x=6时，ymax=185元．
当6＜x≤20，x∈N时，y=-3x2+68x-115=-3(x-
∴当x=11时，ymax=270元．
综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．
某企业拟在2012年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2012年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．
（1）将2012年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数
（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）
正确答案
（1）由题意：3-x=
∴x=3-
当年生产x（万件）时，年生产成本=32x+3=32(3-
由题意，生产x万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费
即y=
（2）y=50-(
已知函数
(1)求函数
(2)若
正确答案
(1) 单调增区间为
(2) 值域为
试题分析：(1)先求导，然后分别令
试题解析：.解：(1)
当
当
∴函数
函数
(2)由(1)知
又因为
所以函数
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30，t∈N﹢）的旅游人数f（t）（万人）近似地满足f（t）=4+
（1）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N﹢）的函数关系式；
（2）求该城市旅游日收益的最小值．
正确答案
（1）由题意，根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数可得W（t）=f（t）g（t）=（4+
（2）当t∈[1，20]时，401+4t+
当t∈（20，30]时，因为W（t）=559+
∵443
∴t∈[1，30]时，W（t）的最小值为441万元．
某公司2007年底共有员工200人，当年的生产总值为1600万元．该企业规划从2008年起的10年内每年的总产值比上一年增加100万元；同时为扩大企业规模，该企业平均每年将录取m（m＞5）名新员工；经测算，这10年内平均每年有5名员工退休．设从2008年起的第x年（2008年为第1年）该企业的人均产值为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式y=f（x）；
（2）要使该企业的人均产值在10年内每年都有增长，则每年录用的新员工至多为多少人？
正确答案
（1）从2008年起的第x年的总产值为1600+100x，共有员工[200+（m-5）x]人，由题意得，y=
（2）当函数f（x）为增函数时，该企业的人均产值在10年内每年都有增长．
所以当1≤x1＜x2≤10时，f（x2）-f（x1）=
解得m＜17.5，因此每年至多招收新员工不超过17人．
已知某种钻石的价值υ（万元）与其重量ω （克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为35万元．
（Ⅰ）写出υ关于ω的函数关系式；（Ⅱ）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率；（Ⅲ）请猜想把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为多少时价值损失的百分率最大？（直接写出结果，不用证明）（注：价值损失的百分率=
正确答案
（Ⅰ）依题意设v=kω2，又当ω=3时，v=35，即k=
（Ⅱ）设这颗钻石的重量为a克拉，由（Ⅰ）可知，按重量比为l：3切割后的价值为k（
价值损失的百分率为：
所以，价值损失的百分率为37.5%．
（Ⅲ）由价值损失的百分率=
研究表明：某商品在近40天内，商品的单价f（t）（元）与时间t（天）的一次函数，这里t∈Z．已知第20天时，该商品的单价为27元，第40天时，该商品的单价为32元．
（1）求出函数f（t）的解析式；
（2）已知该种商品的销售量与时间t（天）的函数关系式为g(t)=-
正确答案
（1）由题意，设f（t）=at+b，这里a，b为常数．
∴
∴
∴a=
所以f（t）=
（2）∵该种商品的销售量与时间t（天）的函数关系式为g(t)=-
∴销售额为y=f（t）g（t）=(
y=(
∴t=12时，ymax=
答：这种商品在这40天内第12天的销售额最高，最高为833元．
我国的不少城市已跨入老年社会的城市，而且人口老龄化速度非常快．据统计资料显示：某城市1995年末老年人口有a万人，到2005年末老年人口达2a万人，已知老年人口的年平均增长率为b，设从1995年末起经过x年的人口数为f（x）．（即1995年末的人口数用f（0）表示、1996年末的人口数用f（1）表示）
（1）求b的精确值并写出函数f（x）的解析式；
（2）设a=17.41，预算该市到2015年末老年人口数．
正确答案
（1）依题意得a（1+b）10=2a⇒(1+b)10=2⇒b=
所以f(x)=a(1+b)x=a•2x10即函数f(x)=a•2x10， (x∈N)；…（8分）
（2）由a=17.41，因此f(x)=17.41•2x10， (x∈N)，…（10分）
即2015年末老年人口数f(20)=17.41•22010=69.64；
所以该市到2015年末老年人口数约69.64万人．…（16分）
济南市某电脑公司在市区和微山湖各有一分公司，市区分公司现有电脑6台，微山湖分公司有同一型号的电脑12台．淄博某单位向该公司购买该型号电脑10台，济南某单位向该公司购买该型号电脑8台，已知市区运往淄博和济南每台电脑的运费分别是40元和30元，微山湖运往淄博和济南每台电脑的运费分别是80元和50元．
（1）设从微山湖调运x台至淄博，该公司运往淄博和济南的总运费为y元，求y关于x的函数关系式；
（2）若总运费不超过1000元，问能有几种调运方案；
（3）求总运费最低的调运方案及最低运费．
正确答案
（1）若微山湖调运x台至淄博，则运（12-x）台至济南，市区运（10-x）台至淄博，运往济南6-（10-x）=（x-4）台（4≤x≤10，x∈N），
则y=80x+50（12-x）+40（10-x）+30（x-4）=20x+880，
所以y=20x+880（x∈N，且4≤x≤10）．
（2）由y≤1000，得20x+880≤1000，解得x≤6．
又因为x∈N，且4≤x≤6，所以x=4、5、6，
即有3种调运方案．
（3）因为y为增函数，所以当x=4时，ymin=960．
故从微山湖运4台至淄博，运8台至济南，市区运6台至淄博，运费最低．
我市某公司为激励工人进行技术革新，既保质量又提高产值，对小组生产产值超产部分进行奖励．设年底时超产产值为x（x＞0）万元，当x不超过35万元时，奖金为log6（x+1）万元；当x超过35万元时，奖金为5%•（x+5）万元．
（1）若某小组年底超产产值为95万元，则其超产奖金为多少？
（2）写出奖金y（单位：万元）关于超产产值x的函数关系式；
（3）某小组想争取年超产奖金y∈[1，8]（单位：万元），则超产产值x应在什么范围？
正确答案
（1）当x=95时，5%•（x+5）=5万元；（2）y=
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