- 基本初等函数（1）
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某种图书原定价为每本10元，预计售出总量为1万册，经过市场分析，如果每本价格上涨x%，售出总量将减少0.5x%，问x为何值时，这种书的销售额最大？此时每本书的售价是多少？最大销售额为多少？
正确答案
由题意，设销售额为y万元，则
y=10（1+x%）（1-0.5x%）=
∴x=50时，销售额最大，
此时每本书的售价是15元，最大销售额为2.25万元．
某投资公司投资甲乙两个项目所获得的利润分别是M（亿元）和N（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式：M=
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）求总利润y的最大值．
正确答案
（1）设甲项目投资x亿元，则乙项目投资（3-x）亿元，这两个项目所获得的总利润为：
y=
（2）设
∴y=
∵t∈[0，
∴当t=1，即x=1时，y有最大值为
答：总利润的最大值是
有一种商品在最近30天内的价格f（t）与天数t的函数关系f(t)=
正确答案
根据题意，销售额=销售量×价格
∴g(t)=
整理得：
g(t)=
①当0＜t＜25时：
对称轴为：t=10，开口向下，
故[0，10]递增，[10，25]递减
此时函数在t=10时取最大值，g（10）=900
②当25≤t≤30时
对称轴为70，开口向上
故[25，30]上递减
此时函数在t=25时取，最大值为g（25）=1125
∴综上，函数在t=25时取，最大值为g（25）=1125
由x=0,x=5,y=︱x -3︱与y=0围成封闭图形的面积为____________
正确答案
略
某公司生产某种电子仪器，每月的固定成本为20000 元，每生产一台仪器需增加投入100 元，已知月销售收入R（x） （单位：元）与月产量x （单位：台）的函数关系为R(x)=
（1）求月利润f（x） 与月产量x 的函数关系；
（2）当月产量为何值时，公司获得的月利润最大？最大月利润是多少？
正确答案
（1）当0≤x≤400 时，f(x)=400x-
当x＞400 时，f（x）=80000-20000-100x=-100x+60000；
综上所述：f(x)=
（2）当0≤x≤400时，f(x)=-
∴当x=300 时，f（x）max=25000；
当x＞400 时，f（x）=-100x+60000 是减函数，
∴f（x）＜-100×400+60000=20000；
综上所述，当x=300 时，f（x）max=25000．
所以，当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元．
销售甲乙两种商品所得的利润分别为P（万元）、Q（万元），它们与投入资金t（万元）有如下关系：P=
（1）试建立总利润y（万元）关于x的函数表达式，并写出定义域；
（2）分别对甲乙两种商品各投入多少万资金才能使得获取的总利润最大？最大是多少？
正确答案
在经济学中，函数f（x）的边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x），某服装公司每天最多生产100件．生产x（x≥1）件的收入函数为R（x）=300x-2x2（单位元），其成本函数为C（x）=50x+300（单位元），利润等于收入与成本之差．
（1）求出利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）；
（2）分别求利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）的最大值．
正确答案
（1）利润函数p（x）=R（x）-C（x）=-2x2+250x-300，x∈[1，100]，x∈N；
边际利润函数Mp（x）=p（x+1）-p（x）=[-2（x+1）2+250（x+1）-300]-（-2x2+250x-300）=248-4x，x∈[1，100]，x∈N．
（2）由利润函数p（x）=-2x2+250x-300=-2（x-62.5）2+7512.5，x∈[1，100]，x∈N，故当x=62或63时，
有最大值p（x）max=7512（元）；
因为Mp（x）=248-4x为减函数，故当x=1时有最大值244．
为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值0≤x≤30（单位：万元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成f（x）的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
正确答案
（1）设商品降价x万元，则多卖的商品数为kx2，
若记商品在一个星期的获利为f（x），
则依题意，有f（x）=（30-x-9）（432+kx2）=（21-x）（432+kx2），
又，由已知条件：24=k•22，得 k=6，
所以，f（x）=-6x3+126x2-432x+9072，x∈[0，30]．
（2）根据（1），得 f'（x）=-18x2+252x-432=-18（x-2）（x-12）
作出以下表格：
所以，当x=12时，f（x）达到极大值．因为f（0）=9072，f（12）=11264，
即定价为 30-12=18万元时，能使一个星期的商品销售利润最大．
（理科）当
正确答案
略
已知定义在[0，＋∞)上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则不等式f(x)·g(x)>0的解集是____________．
正确答案
略
（本小题满分12分）
某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为
（Ⅰ）试写出
（Ⅱ）当
正确答案
解：（Ⅰ）设摩天轮上总共有
定义
（Ⅱ）当
∴
当
当
略
某市一家庭今年八月份、九月份和十月份天然气用量和支付费用如下表所示：
该市天然气收费的方法是：天然气费=基本费+超额费+保险费．若每月用气量不超过最低额度A（A＞8）立方米时，只付基本费16元和每户每月定额保险费C（0＜C≤5）元；若用气量超过A立方米时，超过部分每立方米付B元．
（1）根据上面的表格求A，B，C的值；
（2）记用户十一月份用气量为x立方米，求他应交的天然气费y（元）．
正确答案
（1）∵八月用气量不超过最低额度A（A＞8）立方米，
∴16+C=17，解得C=1．
九、十月用气量超过最低额度A（A＞8）立方米，
∴
解得
（2）当x≤10时，需付费用为16+1=17；
当x＞10时，需付费用为17+3（x-10）=3x-13；
∴应交的天然气费为y=
四川地震灾区在党的领导下积极恢复生产，重建家园时，某工厂需要建一个面积为512m2矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其它三面需要砌新的墙壁．当砌墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽（长度单位：米）分别为______．
正确答案
由题意，墙的高度是个定值，故砌墙所用的材料最省时，底面周长最小
设与原来墙壁平行的一边长为xm，另一边长为
利用基本不等式可得x+2×
故答案为：32m，16m
方程
正确答案
略
、设函数表示不超过实数的最大整数，则函数的值域为 。
正确答案
{1，-1}
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