- 基本初等函数（1）
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若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”．例如函数y=x2，x∈[1，2]与y=x2，x∈[-2，-1]即为“同族函数”、下面6个函数：①y=tanx；②y=cosx；③y=x3；④y=2x；⑤y=lgx；⑥y=x4．其中能够被用来构造“同族函数”的有______．
正确答案
对于③④⑤这三个函数来说，只要函数的值域相同，定义域必相同，因为他们是一一对应的函数．
①②⑥表示的函数的解析式和值域相同，定义域可以不同，因为他们是“多对一”形式的函数．
故答案为①②⑥．
函数f(x)=
正确答案
要使函数有意义，只需
解得2≤x＜4，
故答案为：[2，4）．
函数f（x）=lg（x2-1）+
正确答案
要使函数f（x）=lg（x2-1）+
自变量x需满足
解得：x＞2
故答案为：（2，+∞）
函数y=
正确答案
要使函数y=
由 
故答案为：（0，1]．
函数y=
正确答案
要使函数有意义，需满足
解得1≤x＜2或2＜x＜3
故答案为：[1，2）∪（2，3）
已知f（x）=loga
（1）求f（x）的定义域．
（2）证明f（x）为奇函数．
（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．
正确答案
（1）f（x）=loga
解得f（x）=loga
（2）∵f（x）=loga
∴f（-x）=loga
∴f（x）为奇函数．
（3）∵f（x）=loga
∴由f（x）＞0，得loga
当0＜a＜1时，有0＜
当a＞1时，有
∴当a＞1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（0，1），
当0＜a＜1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（-1，0）．
若函数y=lg（3-4x+x2）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2x+2-3×4x的最值及相应的x的值．
正确答案
y=lg（3-4x+x2），
∴3-4x+x2＞0，
解得x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1，或x＞3}，
f（x）=2x+2-3×4x=4×2x-3×（2x）2．
令2x=t，
∵x＜1或x＞3，
∴t＞8或0＜t＜2．
∴f（t）=4t-3t2=-3t2+4t（t＞8或0＜t＜2）．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f（t）∈（-4，
当t＞8时，f（x）∈（-∞，-160），
当2x=t=
综上可知：当x=log2
某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B 产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系；
（2）分别求出投资生产这两种产品的最大利润；
（3）该企业投资哪种产品可获得最大利润？
正确答案
（1）生产A产品的年利润y1=10x-（20+mx）=（10-m）x-20（其中0＜x≤200，且x∈N）；
生产B产品的年利润y2=18x-（8x+40）-0.05x2=-0.05x2+10x-40（其中0＜x≤120，且x∈N）．
（2）由m∈[6，8]，得10-m＞0，∴y1=（10-m）x-20为增函数；
又0≤x≤200，x∈N∴x=200时，生产A产品有最大利润为（10-m）×200-20=1980-200m（万美元）；
y2=-0.05x2+10x-40=-0.05（x-100）2+460（其中0≤x≤120，x∈N），
∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元）．
（3）由（y1）max-（y2）max=1980-200m-460=1520-200m，得：
当1520-200m＞0时，6≤m＜7.6，此时投资A产品200件可获得最大利润；
当1520-200m=0时，m=7.6，此时生产A产品与B产品均可获得最大年利润；
当1520-200m＜0时，7.6＜m≤8，此时投资B产品100件可获得最大利润．
已知函数f（x）=loga（3-ax） 当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围．
正确答案
由题设，3-ax＞0对一切x∈[0，2]恒成立，
∵a＞0且a≠1，∴g（x）=3-ax在[0，2]上为减函数．
∴g（2）=3-2a＞0，∴a＜
∴a的取值范围是（0，1）∪(1，
已知f（x）=log3（3+x）+log3（3-x）．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）写出函数f（x）的递增区间和递减区间．
正确答案
（1））根据题意可得
∴定义域为（-3，3）
f（x）=log3（3+x）+log3（3-x）=log3（-x2+9）
令t═-x2+9，则t∈（0，9]，f（x）∈（-∞，2]
∴值域为（-∞，2]．
（2）∵定义域为（-3，3）关于原点对称
∵f（-x）=log3（3-x）+log3（3+x）=f（x），
所以函数f（x）为偶函数．
（3）∵t=9-x2在（-3，0]上单调递增．在（0，3]上单调递减
∵函数y=log3t在（0，+∞）单调递增
根据复合函数的单调性可得函数f（x）的单调增区间（-3，0]，单调减区间[0，3）
已知函数f(x)=log2
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[-1，1]，f（x）＞m恒成立，求m的范围．
正确答案
（1）∵f(x)=log2
∴f（-x）=-f（x），即log2
即
所以（5+ax）（5-ax）=（5+x）（5-x）
∴a=±1，
因为a为不等于1的常数，所以a=-1
（2）∵f(x)=log2
设t=
因为t=
又因为f（t）=log2t，在[
所以f(t)min=log2
因为对任意的x∈[-1，1]，f（x）＞m恒成立，所以f（x）min＞m
所以m＜log2
已知函数f（x2-3）=lg
（1）f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若f [φ（x）]=lgx，求φ（3）的值。
正确答案
解：（1）∵f(x2-3)=lg
∴f(x)=lg
又由
∴f(x)的定义域为（3，+∞）。
（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数。
（3）∵
∴
解得φ(3)=6。
已知
（1）求f(x)的定义域；
（2）判断f(x)的奇偶性并证明。
正确答案
解：（1）由对数定义有
则有
解得（1）-1＜x＜1，（2）无解，
所以f(x)的定义域为(-1，1)。
（2）对定义域内的任何一个x，都有
则f（x）是定义域上的奇函数。
已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x），（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数h（x）=f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数h（x）的奇偶，并说明理由．
正确答案
（1）∵f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x），（a＞0，且a≠1）
∴h（x）=f（x）+g（x）=loga（x+1）+loga（1-x），（a＞0，且a≠1）
则
∴函数h（x）的定义域为：（-1，1）
（2）h（x）为偶函数
证明如下：
由（1）知函数h（x）的定义域关于原点对称
又∵h（-x）=loga（-x+1）+loga（1+x）=h（x）
∴函数h（x）是偶函数
已知函数f（x）=log2（x-1）。
（Ⅰ）求函数y=f（x）的定义域；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+a，若函数y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设h（x）=f（x）+
正确答案
解：（Ⅰ）∵f（x）=log2（x-1），
∴x-1＞0，即x＞1，
∴f（x）的定义域为{x|x＞1}；
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+a=log2（x-1）+a 在定义城内为增函数，
又y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点，
∴g（2）·g（3）＜0，
∵g（2）=f（2）+a=a，
g（3）=f（3）+a=1+a，
∴a（a+1）＜0，得-1＜a＜0，
故实数a的取值范围为（-1，0）
（Ⅲ）∵x∈[3，9]，
∴f（x）∈[1，3]，令t=f（x），
则
∵
当且仅当
∴当m＞9时，
∴当t=3时，
由
当1≤m≤9时，
当
由
当0＜m＜1时，
∴当t=1时；
由1+m=4得m=3＞1，矛盾，舍去，
所以存在m=4，使函数y=h（x）在[3，9]内的最小值为4。
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