基本初等函数（1）_章节学习

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题型：简答题

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简答题

根据总的发展战略，第二阶段我国工农业生产总值从2000年到2020年至少要翻两番，问这20年间，年平均增长率至少要多少才能完成这一阶段构想．

（供选择的数据：2110=1.072，lg2=0.3010，lg1.072=0.0301）

正确答案

设年平均增长率至少为x，2000年总产值为a，翻两番应为4a，

由题意，得 a（1+x）20≥4a

1+x≥4120=2110=1.072

∴x≥0.072 即 x≥7.2%

答：每年平均增长率至少要7.2%才能完成这一阶段构想．

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题型：简答题

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简答题

如图，ABCD是边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流从A流到E，且河流是以A为顶点开口向上的一段抛物线弧，其中E为BC的中点．某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PMDN，问如何修建才能使得游乐园的面积最大？最大面积是多少？

正确答案

以A为原点，为x轴的正向建立平面直角坐标系．设抛物线弧AE

的方程为y=ax2（0≤x≤4）

∵E（4，2），2=16a⇒a=

，故y=x2．

设P(x，x2)(0＜x≤4)，矩形PMDN的面积为S，

则S=x(4-x2)=-x3+4x(0＜x≤4)．

∴S′=-x2+4．

令S'=0，得x=

或x=-（舍）．

∵当x∈(0，)

时，S'＞0；当x∈(，4)

时，S'＜0，

∴x=

为S的极大值点，也是最大值点．

故当x=时，S有最大值且最大值为S()=．

答：当游乐园PMDN的两邻边MD=km，DN=km时，游乐园PMDN的面积最大，且最大面积等于km2．

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题型：简答题

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简答题

如图，⊙O半径为2，直径CD以O为中心，在⊙O所在平面内转动，当CD 转动时，OA固定不动，0°≤∠DOA≤90°，且总有BC∥OA，AB∥CD，若OA=4，BC与⊙O交于E，连AD，设CE为x，四边形ABCD的面积为y．

（1）求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

（2）当x=2（3）时，求四边形ABCD在圆内的面积与四边形ABCD的面积之比；

（4）当x取何值时，四边形ABCD为直角梯形？连EF，此时OCEF变成什么图形？（只需说明结论，不必证明）．

正确答案

（1）连接DE，过O作OH⊥BC于H，则DE⊥BC，OH∥DE

∵CD=4，CE=x

∴DE===

∴OH=DE=

∴y=S▱ABCO+S△OAD=4×+×4×

=3 （0≤x≤4）

∴x的取值范围为0≤x≤4；

（2）当x=2 时

∵CE=2 ，CD=4

∴DE=2，∠C=30°

∴∠DOE=60°，OH=1

∵S圆内部分=+×2 ×1=+

∵S四边形ABCD=3 =3 =6

∴S圆内部分：S四边形ABCD=

∴四边形ABCD在圆内的面积与四边形ABCD的面积之比为（2π+3 ）：18；

（3）x=0时，E与C重合，四边形ABCD为直角梯形，OCEF即三角形OCF的形状是等腰直角三角形；

当x=2时，CD、AB都与AD垂直．

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题型：简答题

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简答题

有一个自来水厂，蓄水池有水450吨．水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水．问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．

正确答案

设t小时后蓄水池内水量为y吨，（1分）

根据题意，得y=450+80t-160（5分）

=80()2-160+450

=80[()2-2]+450

=80(-)2+50（10分）

当=，即t=5时，y取得最小值是50．（11分）

答：5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨．（12分）

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题型：填空题

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填空题

设a=0.32，b=20.3，c=log25，d=log20.3，则a，b，c，d的大小关系是______（从小到大排列）

正确答案

∵0＜a=0.32＜0.30=1，

20=1＜b=20.3＜2，

c=log25＞log24=2，

d=log20.3＜log21=0，

∴d＜a＜b＜c．

故答案为：d＜a＜b＜c．

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题型：简答题

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简答题

某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的，则新品种花生亩产量的增长率为 ______．

正确答案

设新品种花生亩产量的增长率为x，

根据题意得200（1+x）•50%（1+x）=132，

解得x1=0.2=20%，x2=-3.2（不合题意，舍去），

答：新品种花生亩产量的增长率为20%．

故答案为：20%．

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题型：填空题

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填空题

如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的定义域为______；f（x）的最大值为______．

正确答案

由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x

∵△CPD，∴解得x∈（2，4）

如图，三角形的周长是一个定值8，

故其面积可用海伦公式表示出来即f（x）==

∴f′（x）=

令 f′（x）=0，解得x=3

∵x∈（2，3）f'（x）＞0，x∈（3，4）f'（x）＜0

∴f（x）的最大值为f（3）=2

故答案为（2，4）；2．

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题型：简答题

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简答题

某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．

（1）试求y与x之间的关系式；

（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？

正确答案

（1）依题意设y=kx+b，则有则有

解得．

所以y=-30x+960（16≤x≤32）．

（2）每月获得利润P=（-30x+960）（x-16）

=30（-x+32）（x-16）

=30（-x2+48x-512）

=-30（x-24）2+1920．

所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．

答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．

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题型：简答题

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简答题

某电器公司生产A型电脑.2007年这种电脑每台平均生产成本为5000元，并以纯利润20%确定出厂价，从2008年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低，到2011年，尽管A型电脑出厂价仅是2007年出厂价的80%，但却实现了 50%纯利润的高效益．

（1）求2011年每台A型电脑的生产成本；

（2）以2007年生产成本为基数，求2007～2011年生产成本平均每年降低的百分率（精确到1%，注：≈2.236，≈2.449）．

正确答案

（1）设2011年每台电脑的生产成本为x元，依据题意，有

x（1+50%）=5000×（1+20%）×80%，

解得x=3200（元）．

（2）设2007～2011年间每年平均生产成本降低的百分率为y，

则依据题意，得5000（1-y）4=3 200，

解得y1=1-，y2=1+（舍去）．

所以y=1-≈0.11=11%．

所以，2011年每台电脑的生产成本为3200元，2007年到2011年生产成本平均每年降低11%．

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题型：简答题

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简答题

已知扇形的周长为20cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

正确答案

∵l=20-2r，

∴S=lr

=（20-2r）•r

=-r2+10r

=-（r-5）2+25

∴当半径r=5cm时，扇形的面积最大为25cm2，

此时，α===2（rad）

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题型：简答题

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简答题

把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k（k＞0），

（1）用x和k表示出长方体的体积的表达式V=V（x），并给出函数的定义域；

（2）问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？

正确答案

（1）设长方体高为xcm，则底面边长为（60-2x）cm，（0＜x＜30），

所以长方体容积V=V（x）=x（60-2x）2=4x（x-30）2；…（4分）

∵≤k，∴0＜x≤．

即函数定义域为(0，]，…（6分）

（2）V′（x）=4（x-30）2+8x（x-30）=4（x-30）（3x-30）=12（x-30）（x-10）

令V′（x）=0，解得x=10，x=30（不合题意舍去）于是 …（8分）

①当10≤，即k≥时，在x=10时，V取得最大值为Vmax=40•202=16000； …（10分）

②当＜10，即0＜k＜时，在x=时，V取得最大值Vmax=．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8m，最大装水量为72m3，池底和池壁的造价分别为2a元/m2、a元/m2，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？

正确答案

设水池底另一边长b，高h，

则8bh=72，即bh=9，

总造价S=2a•8b+a•2•（bh+8h）

=2a•8b+2a•（9+8h）

=（b+h）•16a+18a

≥16a•2+18a

=16a•2•3+18a

=114a．当且仅当b=h=3时，等号成立．

所以，水池底边和高均为3米时，水池造价最低，最低造价是114a．

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题型：简答题

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简答题

一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系，其他与速度无关的费用每小时96元，已知在速度为每小时10公里时，每小时的燃料费是6元，要使行驶1公里所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里？

正确答案

设轮船的速度为x千米/小时（x＞0），

则航行1公里的时间为t=小时．

依题意，设与速度有关的每小时燃料费用为p=kx3，则6=k•103⇒k=，

∴p=x3，

故每公里航行费用为y=（96+p）t=（96+x3)=(+x2

∴y'=(x-），

由y'=0⇒x=20，

且0＜x＜20时，y'＜0；x＞20时，y'＞0．

∴x=20时，y达到最小值(+202)=元．

答：轮船的速度应定为每小时20公里，行驶1公里所需的费用总和最小．

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题型：简答题

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简答题

如图是足球场的部分示意图，假设球门的宽AB=7m，A到边线的距离AC=30m．现距离边线5m处的一名运动员P沿着边线方向向底线运球，他观察球门的角∠APB称为视角．设P到底线的距离为PD=xm，tan∠APB记为y．

（1）试将y表示成x的函数；

（2）求当P离底线多少m时，该球员观察球门的视角最大？（结果保留根式）

正确答案

（1）由题意，AD=25m，BD=32m，∠APB=∠DPB-∠DPA

∴y=tan∠APB=tan（∠DPB-∠DPA）==

∴y=(x＞0)；

（2）y=≤=，当且仅当x=20m时，取等号

∴x=20m时，y=tan∠APB取得最大值

∵∠APB∈(0，)

∴x=20m时，∠APB取得最大值．

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题型：简答题

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简答题

学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密，在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案．一是每年年末加一千元；二是每半年结束时加300元．请选择一种．一般不擅长数学的人很容易选择前者，因为一年加一千元总比两个半年共加600元要多．其实，由于工资累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000元，而第二种方案在第一年加得300+600=900元，第二年加得900+1200=2100元，总数也是900+2100=3000元．但到了第三年，第一种方案可以得到1000+2000+3000=6000元，第二种方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元．第四年，第五年会更多．因此，你若会在公司干三年以上，则应选择第二种方案．

根据以上材料，解答以下问题：

（1）如果在该公司干10年，问选择第二方案比选择第一方案多加薪多少元？

（2）如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加 a元，问 a取何值时，选择第二方案总是比选择第一方案多加薪？

正确答案

（1）由题意，第一方案每年的加薪额，第二方案每半年的加薪额都构成等差数列

第10年末，第一方案加薪总额为：1000+2000+3000+…+10000=55000元，

第二方案加薪总额为：300+300×2+300×3+…+300×20=63000元，

所以在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪：63000-55000=8000元；

（2）由题意，第n年（n∈N*）选择第二方案总比选择第一方案加薪多，

则由等差数列的前n项和公式：2na+a＞1000n+×1000

化简得a＞=250(1+)，对于n∈N*时恒成立，

又当n=1时，取最大值，此时250(1+)取得最大值；所以，

当a＞时选择第二方案总是比选择第一方案多加薪．

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