- 基本初等函数（1）
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对于5年可成材的树木，从栽种到5年成材的木材年生长率为18%，以后木材的年生长率为10%．树木成材后，既可以出售树木，重栽新树苗；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量？（注：只需考虑10年的情形）（参考数据：lg2=0.3010，lg1.1=0.0414）
正确答案
某产品的总成本y与产量x的关系为y=3000+20x-0.1x2（x∈（0，240）），若每件产品的销售价为25，则企业不亏本的最低产量x应为 ______元．
正确答案
由题意可知：要使企业不亏本则有总收入要大于等于总支出，
又因为总收入为：25x，
总支出为：3000+20x-0.1x2
∴25x≥3000+20x-0.1•x2
解得：x≥150或x≤-200
又x∈（0，240）
∴x≥150
故答案为：150．
某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图1、图2、图3所示，其中图1中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图2中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）
（1）分别写出国内市场的日销售量f（t），国外市场的日销售量g（t）与第一批产品A的上市时间t的关系式；
（2）每一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？
正确答案
（1）由图象得函数的解析式分别为：
f(t)=
（2）设每件产品A的销售利润为q（t），
则q(t)=
从而这家公司的日销售利润Q（t）的解析式为：
Q(t)=
①当0≤t≤20时，Q'（t）=-
∴Q（t）在区间[0，20]上单调递增，此时Qmax（t）=Q（20）=6000
②当20＜t≤30时Q(t)=-9(t-
t=27时Qmax（t）=Q（27）=6399
③当30＜t≤40Q（t）＜Q（30）=6300
综上所述Qmax（t）=Q（27）=6399
第一批产品A上市后，这家公司的日销售利润在第27天最大，最大值为6399万元．
已知函数f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)，
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）判断f(x)的奇偶性；
（3）方程f(x)=x+1是否有根？如果有根x0，请求出一个长度为
正确答案
解：（1）要使函数有意义，则
∴-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）。
（2）∵
∴f（x）为奇函数。
（3）由题意知方程f（x）=x+1等价于
可化为
设
则
所以
又因为
所以
故方程在
所以满足题意的一个区间为
某公司生产一种产品，其固定成本为0.5万元，但每生产100件产品需要增加投入0.25万元，设销售收入为R（x）（万元）且R(x)=
（1）把利润H（x）（万元）表示成年产量的函数．
（2）当年产量是多少时，当年公司的利润最大值多少？
正确答案
（1）当0≤x≤5时，H（x）=R（x）-（0.5+0.25x）=-0.5x2+4.75x-0.5…（2分）
当x＞5时H（x）=12.5-0.5-0.25x=-0.25x+12…（2分）
综上所述：H(x)=
（2）当0≤x≤5时，∵H（x）=-0.5x2+4.75x-0.5
∴x=4.75，H（x）max=H（4.75）=10.78125…（3分）
当x＞5时H（x）=12-0.25x在（5，+∞）内是减函数
∴H（x）=12-0.25x＜12-0.25×5=10.75
而10.75＜10.78125…（2分）
∴当年产量为4.75百件时，公司的最大利润为10.78125万元．…（1分）
彭山二中决定在新校区附近修建教师宿舍，学校行政办公室用100万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．
（1）若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出y=f（x）的表达式．
（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？
正确答案
（1）由题意知，建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：720元．
建筑第1层楼房建筑费用为：720×1000=720000（元）=72（万元）
楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：20×1000=20000（元）=2（万元）
建筑第x层楼房建筑费用为：72+（x-1）×2=2x+70（万元）
建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：y=f(x)=72x+
所以，y=f（x）=x2+71x+100（x≥1，x∈Z）
（2）设该楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则：
g(x)=
当且仅当10x=
所以，学校应把楼层建成10层．此时平均综合费用为每平方米910元．
为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x千瓦时．
（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2-y1的解析式；
（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．．
正确答案
（1）若总用电量为S千瓦时，设高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S-x）千瓦时；
实行峰谷电价的电费为y1=0.56x+（S-x）×0.28=0.28S+0.28x；
现行电价的电费为y2=0.53S；
电费总差额f（x）=y2-y1=0.25S-0.28x，（0≤x≤S）
（2）可以省钱，因为f（x）＞0，即0.25S-0.28x＞0，∴
对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为
所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱．
如图，在边长为1m的正方形铁皮的四角切去边长为x的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱，容积为V，并规定：铁皮箱的高度x与底面正方形的边长的比值不超过正常数c，求V的最大值，并写出相应的x的值．
正确答案
长方体的底面正方形的边长为1-2x，高为x，所以，容积V=4（x-
铁皮箱的高度x与底面正方形的边长1-2x的比值
由均值不等式知V=2（
当
①当
②当
则V′（x）在（0，
∴V'（x）≥V'（
∴V（x）在（0，
∴Vmax=V（
总之，0＜c＜
若 c≥
已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象过点A(2，1)，B(5，2)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)记an=3f(n)(n∈N*)，是否存在正数k，使得
正确答案
解：(1)由已知得，
所以
(2)由题知，
假设存在正数k使得
则
记
则
∵
∴F(n+1)＞F(n)，所以{F（n）}是递增数列，
∵n∈N*，
∴当n=1时F(n)最小，最小值为
∴k≤
（1）函数y=
（2）计算
正确答案
（1）要使函数有意义，需
解得：x＞
故函数的定义域为（
（2）原式=212•223•256+lg10-2-2=212+23+56-2-2=4-2-2=0
已知函数
（1）求函数
（2）指出函数
正确答案
解：（1）由函数
则函数
由
（2）单调减区间为
已知函数
（1）求f（x）的定义域；
（2）在函数的图像上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴？
正确答案
解：（1）由
所以，函数的定义域为
（2）设
所以原函数也为增函数。
若存在不同两点
但由增函数的定义知，当
所以在函数的图像上没有不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴。
若0＜a＜1，函数f（x）=
正确答案
解：
已知函数f(x)=log2(|x-l|+|x-5|-a)．
(Ⅰ)当a=2时，求函数f(x)的最小值；
(Ⅱ)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围。
正确答案
解：函数的定义域满足
即
(Ⅰ)当a=2时，
设
g(x)min=4·f(x)min=log2(4-2)=1。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，g（x）=|x-l|+|x-5|的最小值为4，
|x-l|+|x-5|-a＞0，
∴a＜4，
∴a的取值范围是（-∞，4）。
已知
（1）求f(x)的定义域；
（2）证明f(x)为奇函数；
（3）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
正确答案
解：（1）
∴
∴-1＜x＜1，
∴函数f(x)的定义域为（-1，1）。
（2）
∴
∴f(x)为奇函数。
（3）当a＞1时，
∴
因此，当a>1时，使
当0＜a＜1时，
解得：
因此，当0＜a＜1时， 使
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