- 基本初等函数（1）
- 共14786题
给出下列四个命题；其中所有正确命题的序号是______
①函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
②函数y=2-x（x＞0）的反函数是y=-log2x（0＜x＜1）；
③若函数f（x）=lg（x2+ax-a）的值域是R，则a≤-4或a≥0；
④若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称．
正确答案
当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx+c变为f（x）=x|x|+bx得到奇函数
当函数是一个奇函数时，根据f（-x）=-f（x），得到c=0，
∴函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0，故①正确，
函数y=2-x（x＞0）的反函数是y=-log2x（0＜x＜1），故②正确，
若函数f（x）=lg（x2+ax-a）的值域是R，则等价于真数可以取到所有的正数，
得到真数对应的二次函数的判别式大于0，，得到a≤-4或a≥0，故③正确．
当函数y=f（x-1）是偶函数，它的对称轴是y轴，
则函数y=f（x）的图象向左平移一个单位，关于直线x=-1对称，故④不正确，
综上可知①②③正确，
故答案为：①②③
已知函数f(x)=ax+b
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得命题p：f（m2-m）＜f（3m-4）和q：g(
正确答案
（Ⅰ）依题意f（x）与g（x）互为反函数，
由g（1）=0得f（0）=1∴
得
故f（x）在[0，+∞）上是减函数∴0＜f(x)=
即f（x）的值域为（0，1]．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）是[0，+∞）上的减函数，g（x）是（0，1]上的减函数，
又f(
故
因此，存在实数m，使得命题p且q为真命题，且m的取值范围为：
函数y=x+
正确答案
∵函数在一个区建上有反函数的条件是函数在这个区间上是单调的，
∴只要写出函数的一个单调区间就可以，
根据函数的特点可以看出函数在[2，+∞）上递增，在（0，1]上递减，
故答案为：（0，1]或[2，+∞）等，（答案不唯一）
有下列命题：
①函数y=2x与y=log2x互为反函数；
②函数y=
③函数y=2x与y=2-x的图象关于x轴对称；
④函数y=
其中正确的是______．（把你认为正确的命题的序号都填上）
正确答案
①因为同底的指数函数与对数函数互为反函数，所以函数y=2x与y=log2x互为反函数；正确；
②，因为函数y=
③函数y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称；故错；
④对于函数y=
其中正确的是①④．
故答案为：①④．
已知函数f（x）=ax+1-2（a＞0，且a≠1）设f-1（x）是f（x）的反函数．
（I）若y=f-1（x）在[0，1]上的最大值和最小值互为相反数，求a的值；
（Ⅱ）若y=f-1（x）的图象不经过第二象限，求a的取值范围．
正确答案
（I）因为ax+1＞0，
所以f（x）的值域是{y|y＞-2}．（2分）
设y=ax+1-2，解得x=loga（y+2）-1．
当a＞1时，f-1（x）=loga（x+2）-1为（-2，+∞）上的增函数，（6分）
所以f-1（0）+f'（1）=0即（loga2-1）+（loga3-1）=0
解得a=
（II）由（I）得f（x）的反函数为f-1（x）=loga（x+2）-1，（x＞-2），它的图象不过第二象限，
当a＞1时，函数f-1（x）是（-2，+∞）上的增函数，且经过定点（-1，-1）．
所以f-1（x）的图象不经过第二象限的充要条件是f-1（x）的图象与x轴的交点位于x轴的非负半轴上．（11分）
令loga（x+2）-1=0，解得x=a-2，
由a-2≥0，解得a≥2．（13分）
已知函数f(x) = lg
（1）求f（x）的定义域；
（2）求该函数的反函数f-1（x）；
（3）判断f-1（x）的奇偶性．
正确答案
（1）由 
故函数的定义域是（-1，1）
（2）由y= lg
所以x=
所求反函数为f-1（x）=
（3）f-1（-x）=
所以f-1（x）是奇函数．
函数y=arcsin（1-x）+arccos2x的值域为______．
正确答案
由题意知
解得：0≤x≤
即函数的定义域为[0，
所以arcsin（1-x）是减函数，arccos2x也是减函数
所以当x=0时，函数有最大值，为y=
当x=
所以值域为[
故答案为[
已知f(x)=
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；
（3）求函数f（x）的反函数f-1（x）；
（4）若对任意满足x1+x2=m的正实数x1、x2，不等式f-1（x1）f-1（x2）＞f-1（m）恒成立．求m的取值范围．
正确答案
（1）由
（2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下．
设0＜x1＜x2≤1，则f(x2)-f(x1)=
即f（x2）＜f（x1）．这就是说函数f（x）在（0，1]上单调递减．
（3）令y=
（4）由f-1（x1）f-1（x2）＞f-1（m），
化简得到：（1+x12）（1+x22）＜1+m2．
注意到m=x1+x2，以及x1，x2＞0代入整理得：x1x2＜2．
把x2=m-x1代入整理得到：x12-mx1+2＞0．
该关于x1的不等式对于一切（0，m）内的x1恒成立．
所以(
已知f（x）=(1+
（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）的解析式及其定义域；
（2）判断函数f-1（x）在其定义域上的单调性并加以证明；
（3）若当x∈(
正确答案
（1）令y=x，则有x=(1+
2
y-1
)-2
解得：f-1(x)=
（2）设0＜x1＜x2＜1，则f-1(x1)-f-1(x2)=
=
由0＜x1＜x2＜1，有所以f-1（x1）-f-1（x2）＜0，即函数f-1（x）在其定义域上的单调递增．（8分）
（3）当x∈(
即不等式
当1+a＞0即a＞-1时，原命题等价于a＜
所以a≤
当1+a=0即a=-1时，不等式
当1+a＜0即a＜-1时，原命题等价于a＞
由x∈(
已知函数f（x）=
正确答案
令y=
得2x（1-y）=1+y，
∴2x=
∴-1＜x＜1且x=log2
∴f-1（x）=log2
故答案为：log2
设函数f（x）=
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数f（x）的反函数f-1（x），问函数y=f-1（x）的图象与x轴有交点吗？若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．
正确答案
（1）由3x+5≠0且
（2）令μ（x）=3x+5，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；
又y=lgx在定义域内是增函数，根据复合函数的单调性可知，y=lg
（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．
设函数f（x）的反函数f-1（x）与x轴的交点为（x0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0=
所以函数y=f-1（x）的图象与x轴有交点，交点为（
已知函数f(x)=(m2-3)xm+104是幂函数，且图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，求f-1（x）并讨论其单调性．
正确答案
（Ⅰ）因为f(x)=(m2-3)xm+104是幂函数，
则m2-3=1，解得：m=±2．
当m=2时，f（x）=x3，图象不关于y轴对称，舍去；
当m=-2时，f（x）=x2，满足f（x）的图象关于y轴对称，
所以所求的函数解析式为f（x）=x2．
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，由y=x2，得y≥0．
又由y=x2，得：x=
∴f-1(x)=
函数f-1(x)=
事实上，在[0，+∞）任取两个实数x1、x2，且x1＜x2，
则f-1(x1)-f-1(x2)=
∵0≤x1＜x2，∴x1-x2＜0，
∴f-1(x1)-f-1(x2)＜0．即f-1(x1)＜f-1(x2)．
故f-1(x)=
已知函数f(x)=
（1）求函数f （ x ）的值域；
（2）求函数f （ x ）的反函数f-1（x）；
（3）证明：f-1（x）在（2，+∞）上为减函数．
正确答案
（1）函数f(x)=
∵
∴函数f （ x ）≠2
故函数f （ x ）的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）
（2）∵y=f(x)=
∴y-2=
∴x+1=
∴x=
即f-1（x）=
证明；（3）任取区间（2，+∞）上两个实数x1，x2，且x1＜x2，
则x1-2＞0，x2-2＞，x2-x1＞0
则f（x1）-f（x2）=（
=
=
即f（x1）＞f（x2）
即f-1（x）在（2，+∞）上为减函数
已知a为实数，f(x)=a-
（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f（x）是奇函数时，若方程f-1（x）=log2（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．
正确答案
（1）设x1＞x2，
则f（x1）-f（x2）=-
∴x1＞x2，
∴2x1＞2x2
∴
∴f（x1）-f（x2）=-
∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）在定义域上为增函数．
（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以f(0)=a-
即a=1．f-1(x)=log2
由log2
当且仅当1-x=
所以，t的取值范围是[2
已知f(x)=(
（Ⅰ）求f（x）的反函数f-1（x）；
（Ⅱ）设g(x)=
正确答案
（I）f(x)=(
∵x≥1
∴0≤y＜1
∴x=
∴f-1(x)=
（II）g(x)=
当且仅当1+
∴当x=3-2
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