热门试卷

（1）∵函数f(x)=的图象关于直线y=x对称

∴f-1(x)=

∴m=1（5分）

（2）函数f(x)=在区间（1，+∞）上单调递减     （6分）

设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2则：f(x1)-f(x2)=＞0（8分）

∴f(x)=1+在（1，+∞）上的单调递减    （10分）

（3）∵函数f(x)==1+

∴函数f(x)=的值域是（-∞，1）∪（1，+∞）

∵直线y=a（a∈R）与f（x）的图象无公共点

∴y=1，

得a=1，（12分）

又f(|t-2|+)＜4=f(2)，

∵f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，

∴|t-2|+＞2

∴t＜或t＞．

（1）设任意实数x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=(2x1+a•2-x1-1)-(2x2+a•2-x2-1)=(2x1-2x2)+a(2-x1-2-x2)=(2x1-2x2)•

∵x1＜x2，∴2x1＜2x2，∴2x1-2x2＜0；

∵a＜0，∴2x1+x2-a＞0．

又2x1+x2＞0，所以f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x）是增函数．

（2）当a=0时，y=f（x）=2x-1，所以2x=y+1，所以x=log2（y+1），y=g（x）=log2（x+1）．

（1）f-1（x）=loga（x-3a），x∈（3a，+∞）．…（4分）

（2）h（x）=f-1（x）+g（x）=loga（x-3a）+loga（x-a）=loga（x2-4ax+3a2），x∈（3a，+∞）．…（6分）

依题意，a+2＞3a⇒0＜a＜1．…（8分）

由h（x）≤1⇒loga（x2-4ax+3a2）≤1⇒x2-4ax+3a2≥a，即x2-4ax+3a2-a≥0．…（10分）

设T（x）=x2-4ax+3a2-a，其对称轴x=2a＜a+2，所以函数T（x）在[a+2，+∞）单调递减．

由T（x）min=T（a+2）=（a+2）2-4a（a+2）+3a2-a=4-5a≥0，解得a≤．…（13分）

又0＜a＜1，所以a的取值范围是( 0 ，  ]．…（14分）

（1）函数f（x）的值域为（-1，+∞），

由y=2x-1得x=log2（y+1），

所以f-1（x）=log2（x+1）（x＞-1）（4分）

（2）证明：任取-1＜x1＜x2，

f-1（x1）-f-1（x2）=log2（x1+1）-log2（x2+1）=log2

由-1＜x1＜x2得0＜x1+1＜x2+1，因此

0＜＜1得log2＜0

所以f-1（x1）＜f-1（x2）

故f-1（x）在（-1，+∞）上为单凋增函数．（9分）

（3）f-1（x）≤g（x）即

log2（x+1）≤log4（3x+1）⇔⇔（11分）

解之得0≤x≤1，所以x的取值范围是[0，2]（13分）

（1）4x-1＞0，所以x＞0，所以定义域是（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上单调增．

证法一：设0＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=log4(4x1-1)-log4(4x2-1)=log4

又∵0＜x1＜x2，∴1＜4x1＜4x2，0＜4x1-1＜4x2-1

∴＜1，即log4＜0

∴f（x1）＜f（x2），f（x）在（0，+∞）上单调增．…5分

证法二：∵y=log4x在（0，+∞）上都是增函数，…2分

y=4x-1在（0，+∞）上是增函数且y=4x-1＞0…4分

∴f(x)=log4(4x-1)在（0，+∞）上也是增函数． …5分

（2）f-1(x)=log4(4x+1)，

∴f（2x）=f-1（x），即0＜42x-1=4x+142x-4x-2=0，解得4x=-1（舍去）或4x=2，

∴x=log42=…9分

经检验，x=是方程的根． …10分．

（Ⅰ）∵函数h（x）=（x∈R，且x＞2）的反函数的图象经过点（4，3），

∴函数h（x）=（x∈R，且x＞2）的图象经过点（3，4），

∴=4，⇒m=7，

∴h（x）==（x-2）+，

∴f（x）=h（x+2）=x+． …（3分）

（Ⅱ）∵g（x）=x+，

∴由已知有x+≥8有a≥-x2+8x-3，

令t（x）=-x2+8x-3，则t=-（x-4）2+13，于是t（x）在（0，3）上是增函数．

∴t（x）max=12．

∴a≥12．…（12分）

（1）由y=（）2，得x=．

又y=（1-）2，且x＞1，

∴0＜y＜1．

∴f-1（x）=（0＜x＜1）．

（2）设0＜x1＜x2＜1，则-＜0，1-＞0，1-＞0．

∴f-1（x1）-f-1（x2）=＜0，

即f-1（x1）＜f-1（x2）．

∴f-1（x）在（0，1）上是增函数．

（3）由题设有（1-）＞a（a-）．

∴1+＞a2-a，即（1+a）+1-a2＞0对x∈[，]恒成立．

显然a≠-1．令t=，

∵x∈[，]，∴t∈[，]．

则g（t）=（1+a）t+1-a2＞0对t∈[，]恒成立．

由于g（t）=（1+a）t+1-a2是关于t的一次函数，

∴g（）＞0且g（）＞0，

即

解得-1＜a＜．

法一：由y=得x=，

∴f-1(x)=，f-1(x+1)=

∴g（x）与y=互为反函数，

由2=，得g（2）=-2．

法二：由y=f-1（x+1）得x=f（y）-1，

∴g（x）=f（x）-1，

∴g（2）=f（2）-1=-2．

（1）由题设得23+p=5⇒p=-3，所以f（x）=2x-3；…（2分）

（2）由（1）得f-1（x）=log2（x+3）（x＞-3）…（3分）

于是方程log2(x+3)=2+log2x2⇒4x2=x+3⇒x=1或x=-

经检验x=1或x=-都是原方程的根． …（3分）

（1）由y=-1（x∈R），得10x=，x=lg．

∴f（x）=lg（-1＜x＜1）．

设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，

则P关于直线x=-2的对称点P′的坐标为（-4-x，y）．

由题设知点P′（-4-x，y）在函数y=-的图象上，

∴y=，即g（x）=（x≠-2）．

∴F（x）=f（x）+g（x）=lg+，其定义域为{x|-1＜x＜1}．

（2）设F（x）上不同的两点A（x1，y1），B（x2 y2），-1＜x1＜x2＜1

则y1-y2=F（x1）-F（x2）=lg+-lg-

=lg(•)+(-)

=lg(•)+．

由-1＜x1＜x2＜1    得＞1，＞1，x2-x1＞0，(x1+2)(x2+2)＞0，

所以lg(•)＞0，＞0，y1＞y2，

即F（x）是（-1，1）上的单调减函数，故不存在A，B两点，使AB与y轴垂直．

∵函数y=f（x）的图象与函数g（x）=ax（a＞1）的图象关于直线y=x对称，

∴f（x）=logax

∴f（1-x2）=loga(1-x2)，①

∵①的定义域为（-1，1）

令t=1-x2，则t=1-x2在（0，1]单调递减，在（-1，0）单调递增，

而函数 y=logat （a＞1）在（0，+∞）上单调递增，

由复合函数的单调性可知函数的单调减区间是：（0，1]

故答案为：（0，1]．

由y=f-1（x+1）得x+1=f（y）．

即x=f（y）-1，

所以y=f-1（x+1）的反函数为y=f（x）-1．

所以f（x+1）=f（x）-1，

即f（x）-f（x+1）=1，

取x=1，2，…，2011，

并求和得f（1）-f（2）+f（2）-f（3）+…+f（2011）-f（2012）=2011，

所以f（2012）=3997-2011=1986．

故答案为：1986．

（1）∵f（x0）=ax0=2，

∴f（3x0）=a3x0=（ax0）3=23=8…4分

（2）∵f（x）的图象过点（2，4），

∴f（2）=4，即a2=4，解之得a=2（舍负）…6分  

因此，f（x）的表达式为y=2x，

∵g（x）是f（x）的反函数，

∴g（x）=log2x，…8分

∵g（x）区间[，2]上的增函数，g（）=log2=-1，g（2）=log22=2，

∴g（x）在区间[，2]上的值域为[-1，1]．…12分