- 基本初等函数（1）
- 共14786题
函数f（x）=ax-2-1（a＞0且a≠1）的反函数经过定点______．
正确答案
当x=2时，f（2）=a-2+2-1=a0-1=0，
∴函数f（x）=ax-2-1的图象一定经过定点（2，0）；
∴函数f（x）=ax-2-1（a＞0且a≠1）的反函数经过定点 （0，2）．
故答案为（0，2）．
函数y=lnx+1（x＞1）的反函数为______
正确答案
∵y=lnx+1（x＞1）
∴x=ey-1，
x，y互换得：
y=ex-1，（x＞1）
函数y=lnx+1（x＞1）的反函数为y=ex-1，（x＞1）
故答案为：y=ex-1，（x＞1）．
已知函数f（x）=loga（a-ax） （a＞1）
（1）求f（x）的定义域、值域．
（2）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）．
正确答案
（1）a-ax＞0可得ax＜a，又a＞1，∴x＜1．
∴f（x）的定义域为（-∞，1）．
又由loga（a-ax）＜logaa=1，
∴f（x）＜1．∴f（x）的值域为（-∞，1）．
（2）f（x）=logaa+loga（1-x）=1+loga（1-x）
f（x）-1=loga（1-x） af（x）-1=1-x x=1-af（x）-1
所以f-1（x）=1-ax-1f-1（x2-2）=1-ax2-3＞1+loga（1-x）
即ax2-1=y2＜loga
解得x=0，因为f-1（x）的递减程度小于y1的递减程度，
所以在x＞0时，都满足f-1（x2-2）＞f（x）．所以解为x＞0
已知f（x）=loga（ax-1）（a＞0，且a≠1）
（1）求其定义域；
（2）解方程f（2x）=f-1（x）．
正确答案
（1）由已知条件，知ax-1＞0，即ax＞1．
故当a＞1时，x＞0，当0＜a＜1时，x＜0．
即当a＞1时，函数的定义域为（0，+∞），
当0＜a＜1时，函数的定义域为（-∞，0）．
（2）令y=loha（ax-1），同ay=ax-1，
x=loga（ay+1），即f-1（x）=loga（ax+1）．
∵f（2x）=f-1（x），∴loga（a2x-1）=loga（ax+1），
即a2x-1=ax+1．
∴（ax）2-ax-2=0．
∴ax=2，或ax=-1（舍去）．
∴x=loga2．
已知函数f（x）=a+bx-1（b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），函数f-1（x+a）（a＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f-1（x）的表达式．
正确答案
∵函数f（x）=a+bx-1（b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），
∴a+b0=3，a=3-b0=3-1=2．
又函数f-1（x+a）（a＞0）的图象经过点（4，2），
∴f-1（4+a）=2．
∴f（2）=4+a=4+2=6，
即2+b2-1=6．
∴b=4．
故f（x）=2+4x-1．
再求其反函数即得
f-1（x）=log4（x-2）+1（x＞2）．
答：其反函数为f-1（x）=log4（x-2）+1（x＞2）．
已知f（x）=ax+b（a＞0且a≠1，b为常数）的图象经过点（1，1）且0＜f（0）＜1，记m=
正确答案
f（1）=ab+1
∵f（x）过（1，1）
∴b=-1
f(0)=ab=
f（x）=ax-1
∴f-1（x）=logax+1
2m=loga（x1x2）+2
2n=loga(
x1+x2
2
)2+2
∵(
又a＞1
∴n＞m
已知指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的反函数g（x）的解析式；（2）解不等式：g（x）≤loga（2-3x）．
正确答案
（1）由y=ax得x=logay且y＞0，
即：y=logax，x＞0，
所以函数y=ax的反函数是g（x）=logax（a＞0且a≠1）
（2）∵a＞1，logax≤loga（2-3x）．
∴2-3x≥x＞0
∴0＜x≤
∵1＞a＞0，logax≤loga（2-3x）．
∴0＜2-3x≤x
∴
∴a＞1原不等式的解集为(0，
设函数f（x）=2x-1的反函数为f-1（x），g（x）=log4（3x+1）．
（1）若f-1（x）≤g（x），求x的取值范围D；
（2）设H(x)=g(x)-
正确答案
（1）f-1（x）=log2（x+1），…（3分）
由log2（x+1）≤log4（3x+1），∴
解得0≤x≤1，∴D=[0，1]---．（8分）
（2）H(x)=log4(3x+1)-
∴H(x)=
当x∈[0，1]时，3-
∴H（x）单调递增，…．（14分）
∴H(x)∈[0，
已知函数f（x）=loga（x+2），
（1）若函数f（x）的图象经过M（7，2）点求a的值；
（2）若a=3，x∈（1，25]，求值域，并解关于x的不等式f（x）≤-1．
（3）函数f（x）的反函数过定点P求P点坐标．
正确答案
（1）函数f（x）的图象经过M（7，2）点
则有loga（7+2）=2，
解得：a=3，
（2）若a=3，函数f（x）=log3（x+2），当x∈（1，25]时，
3＜x+2≤27，∴1＜log3（x+2）≤3，即y∈（1，3]，
所以函数f（x）的值域为（1，3]．
又不等式f（x）≤-1⇔不等式log3（x+2）≤log3
⇔0＜x+2≤
∴不等式的解为：-2＜x≤-
（3）函数f（x）=loga（x+2），当x=-1时，y=0，
依题意，点（-1，0）在函数f（x）=loga（x+2）的图象上，
则点（0，-1）在函数f（x）=loga（x+2）的反函数的图象上
那么P点的坐标为（0，-1）．
（理）已知函数f（x）=2x-1的反函数为f-1（x），g（x）=log4（3x+1）
（1）用定义证明f-1（x）在定义域上的单调性；
（2）若f-1（x）≤g（x），求x的取值集合D；
（3）设函数H（x）=g（x）-
正确答案
（1）函数f（x）的值域为（-1，+∞），由y=2x-1，得 x=log2（y+1），
所以f-1（x）=log2（x+1）（x＞-1），任取-1＜x1＜x2，
f-1（x1）-f-1（x2）=log2（x1+1）-log2（x2+1）=log2
由-1＜x1＜x2得0＜x1+1＜x2+1，因此0＜
所以f-1（x1）＜f-1（x2），故f-1（x）在（-1，+∞）上为单调增函数．
（2）f-1（x）≤g（x） 即：log2（x+1）≤log4（3x+1）⇔
解之得0≤x≤1，所以D=[0，1]．
（3）H（x）=g（x）-
由0≤x≤1，得1≤3-
已知定义域为R的函数y=f（x-1）是奇函数，y=g（x）是y=f（x）的反函数，若x1+x2=0，则g（x1）+g（x2）=______．
正确答案
由题意知
∵函数y=f（x-1）是定义在R上的奇函数
其图象关于原点对称
∴函数y=f（x）的图象，由函数y=f（x-1）的图象向左平移一个单位得到
∴函数y=f（x）的图象关于（-1，0）点对称
又∵y=g（x）是y=f（x）的反函数
∴函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x-y=0对称
故函数y=g（x）的图象关于（0，-1）点中心对称图形
∴点（x1，g（x1））和点（x2，g（x2））是关于点（0，-1）中心对称
∴
∵x1+x2=0
∴g（x1）+g（x2）=-2
故答案为：-2
已知函数f(x)=log3( 
正确答案
由题意得，即求f（4）的值
∵f(x)=log3( 
∴f（4）=log3（1+2）=1，
∴f（4）=1．
即所求的解x=1．
故答案为1．
（上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f（x）=loga（x+3）的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是______
正确答案
函数f（x）=logax恒过（1，0），
将函数f（x）=logax向左平移3个单位后，得到f（x）=loga（x+3）的图象
故f（x）=loga（x+3）的图象过定点（-2，0），
又由互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，
所以其反函数的图象过定点（0，-2）
故答案为：（0，-2）
函数y=f（x）的图象与g(x)=(
正确答案
∵函数f（x）的图象与函数 g(x)=(
1
4
)x的图象关于直线y=x对称，
∴f(x)=log14 x
∴f(2x-x2)=log14(2x-x2)①
∵①的定义域为（0，2）
令t=2x-x2，则t=2x-x2在0（0，1]单调递增，在[[1，2）单调递减
而函数 y=log14t 在（0，+∞）单调递减
由符合函数的单调性可知函数的单调减区间是：（0，1]
故答案为：（0，1]．
若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f-1（x）=______．
正确答案
因为点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，所以2=4a，所以a=
则x=y2，所以原函数的反函数为：f-1（x）=x2（x≥0）．
故答案为：x2（x≥0）
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