热门试卷

解：（1）设y=ln（ex+a），a＞0，

则ey=ex+a，

∴ex=ey-a，a＞0，

∴x=ln（ey-a），x，y互换得到函数y=f（x）的反函数

f-1（x）=ln（ex-a），x∈R；

f′（x）=。

（2）由|m-f-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（ex-a）-ln（ex+a）+x＜m＜ln（ex-a）+ln（ex+a）-x

设φ（x）=ln（ex-a）-ln（ex+a）+x，ψ（x）=ln（ex-a）+ln（ex+a）-x，

于是原不等式对于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等价于φ（x）＜m＜ψ（x）①

由，

注意到

故有

从而φ（x）与ψ（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上单调递增

因此不等式①成立当且仅当

即。

（1）∵函数f（x）是奇函数，

∴f(-x)+f(x)=loga+loga=loga=0，对定义域内的任意x恒成立，

∴=1，即(m2-1)x2=0．

解得m=±1，经检验m=-1成立．

（2）由（1）可得：y=loga，由＞0，解得x＞1或x＜-1．

∴函数f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜-1}．

由y=loga，化为ay=，解得x=（y≠0），

∴f-1(x)=(x≠0，a＞0，a≠1)．

（3）由（2）可知函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），

设g(x)=，任取x1＜x2＜-1或1＜x1＜x2，

∵g(x1)-g(x2)=＞0，

∴g（x1）＞g（x2），

∴函数g(x)=在(-∞，-1)或(1，+∞)上单调递减，

∴当a＞1时，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递减，

当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增．

（4）∵1＜x＜a-2，

∴a＞3，

由（3）可知f（x）在（1，a-2）上单调递减．

∴f(a-2)=1，即loga=1，化简得a2-4a+1=0，

解得a=2+．

∵其反函数y=f-1（x）的图象经过点（4，0），

∴函数f（x）=ax+b的图象经过点（0，4），

∴

解之得：

f（x）的解析式是f（x）=4x+3

∴f-2)=，f()=5=4-2+3=，

f（）=5．

（1）∵y=f(x)=(x≤-1)，

∴x2+x-y2=0，x≤-1，且y≥0．

∴x=，

x，y互换，得f(x)=(x≤-1)的反函数为y=，x≥0；

（2）y=x|x|+2x，

当x≥0时，y=x2+2x，且y≥0，

x==-1+，

x，y互换，得y=x2+2x的反函数为x=-1+ ，x≥0．

当x＜0时，y=-x2+2x，且y＜0，

x==-1-，

x，y互换，得y=-x2+2x的反函数为y=-1-，x＜0．

∴y=x|x|+2x的反函数为y=；

（3）f(x)=，

当0≤x≤1时，y=x2-1∈[-1，0]，

x2=y+1，

x=，

x，y互换，得y=x2-1∈[-1，0]的反函数为y=，-1≤x≤0．

当-1≤x＜0时，y=x2∈（0，1]，

x=-，

x，y互换，得y=x2∈（0，1]的反函数为y=-，0＜x≤1．

∴f(x)=的反函数f-1(x)=；

（4）∵y=x3-3x2+3x+1，

∴y-2=x3-3x2+3x-1=（x-1）3，

x-1=（y-2） 13，

∴x=（y-2） 13+1，

∴y=x3-3x2+3x+1的反函数是y=(x-2)13+1，x∈R；

（5）∵y=log2（x2+1）（x＜0）

∴x2+1=2y，且y＞0

x2=2y-1，

x=-，

x，y互换，得y=log2（x2+1）（x＜0）的反函数为y=-，x＞0．

（1）∵f(x)=，

∴f[g（x）]=

又f[g（x）]=4-x，∴=4-x，

解得g (x)=

（2）∵反函数的自变量就是原函数的函数值

∴在g(x)=中有5=，

解得x=-

∴g-1(5)=-

（1）∵函数f(x)=的图象过点A(4，)和B（5，1），

∴，解得a=2，b=32，

∴f（x）=2x-5．

（2）设y=f（x）=2x-5，

则x-5=log2y，

x=log2y+5，

x，y互换，得f-1（x）=5+log2x（x＞0）；

（3）∵an=log2f（n）=log2（2n-5）=n-5，

∴{an}是首项为-4，公差为1的等差数列，

∴Sn=-4n+=n2 -n，

∵an≤Sn，

∴n-5≤n2-n，

解得：{n∈N+|n=1或n≥10}．

故答案为：{n∈N+|n=1或n≥10}．

（1）由y=log13x得x=(

1

3

)y

∴f-1(x)=(

1

3

)x(-1≤x≤1)

 （2）令t=f-1（x），x∈[-1，1]．由（1）知t∈[，3]．

∴函数y=[f-1（x）]2-2a[f-1（x）]+3=t2-2at+3   (≤t≤3)

对称轴x=a（a≤3）

①a≤时，ymin=(

1

3

)2-+3=-

②＜a≤3，ymin=a2-2a2+3=3-a2．

∴g(a)=．

   （3）对（2）中g(a)=，

易知g（x）在（-∞，3]上单减．

（3）（I）若g（x）为“和谐函数”，则g（x）在（-∞，3]上存在区间[p，q]（p＜q），使得g（x）在区间[p，q]

上的值域为[p2，q2]．

①若p＜q≤，g（x）递减，

 得p+q=，

这与p＜q≤矛盾．

②≤p＜q≤3时恒成立

此时p、q、满足，这样的p，q存在．

③p＜，＜q≤3时，解得p=矛盾                     

∴（2）中g（x）是“和谐函数”，p、q满足

（II）∵y=+t在[1，+∞）递增，有和谐函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内，存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]

∵函数y=f(x)=2x2+2x（x≥-1）

∴x2+2x=log2y

∴x=-1

∵x≥-1

∴x=-1-

∴y=-1-

∵y=f(x)=2x2+2x=2(x+1)2-1（x≥-1）

∴f（x）≥

∴f（x）的反函数为f-1（x）=-1-（x≥）．

y=ϕ（x）与y=ϕ-1（x）关于直线y=x对称，

而y=ϕ（x）与y=-ϕ（-x）关于原点成中心对称，

所以y=ϕ-1（x）与y=-ϕ（-x）关于直线y=-x对称．

故答案为：y=-x．．

∵f（x）=，

∴f-1（x）=，

∵函数y=g（x）的图象与y=f-1（x）+1的图象关于直线y=x对称，

∴函数y=g（x）与函数y=f-1（x）+1互为反函数，

又∵函数y=f-1（x）+1=+1的反函数为：

y=，

即g（x）=，

则g（3）==7．

故答案为：7．

（1）f(x)=2+则y≠2∴y-2=，x+a=，x=-a

∴反函数f-1(x)=-a(x≠2)．

（2）由f（x）=f-1（x），有2+=-a+

即（a+2）（x-2）（x+a）=（a+2）（1-2a）

使上式对x≠2且x≠a都成立，则a=-2

（1）∵=，∴P'的坐标为（4，3）（2分）

显然点P'与点P关于直线y=x成轴对称；（4分）

（2）由（1）知y=g（x）为y=f（x）的反函数，（5分）

∴x2=ay-5，∴x=∴当a＞0时，g(x)=（x≥）（7分）

当a＜0时，g(x)=（x≤）（8分）

当a＞0时，函数y=g（x）在定义域内单调递增，

要使函数y=g（x）存在定义域与值域相同的区间[m，n]，

只需方程=x当x≥0时有两个相异实根，（10分）

即方程ax-5=x2有两个相异正根（x=0显然不是方程的根），∴a=x+（x＞0）即函数y=a与函数y=x+（x＞0）有两个交点，

由基本不等式可知：a＞2（x+≥2当且仅当x=时有最小值）（12分）

当a＜0时，∵函数y=g（x）的值域为[0，+∞），而x≤＜0，∴当a＜0时，不存在定义域与值域相同的区间[m，n]，∴a的取值范围为(2，+∞)．（14分）

∵（2，1）既在f(x)=的图象上，又在它反函数图象上，

∴，∴，

∴．

（1）f（x）的定义域为R，

f（x）+f（-x）=ln (+x)+ln (-x)=ln1=0，

所以f（x）为奇函数，

由y=ln (+x)得ey=+x，①

由y=ln (+x)得-y=-ln (+x)

即-y=ln (-x)

所以e-y=-x，②

由①②得2x=ey-e-y，

所以f-1（x）=（x∈R）

（2）f-1（x）g（x）=1等价于方程e2x-e-2x=4

解得e2x=2-（舍）或e2x=2+

x=ln(2+)