热门试卷

（1）由y===2-≠2，（2分）

y(x+1)=2x⇒(2-y)x=y⇒x=，（4分）

故f-1(x)=，(x≠2)；（5分）

（2）由（1）知不等式x•f-1(x)＜

⇔＜0⇔＜0

⇔（x-k）（x-1）（x-2）＞0．（*）（7分）

①当k＜1时，（*）⇔k＜x＜1或x＞2（8分）

②当k=1时，（*）⇔（x-1）2（x-2）＞0⇔x＞2（9分）

③当1＜k＜2时，（*）⇔1＜x＜k或x＞2（10分）

综上：当k＜1时，不等式解集为{x|k＜x＜1或x＞2}；

当k=1时，不等式解集为{x|x＞2}；

当1＜k＜2时，不等式解集为{x|1＜x＜k或x＞2}．（12分）

由y=得2x=，

∴x=log2且y＞-1

即函数y=（x≥1且x≠0）的反函数：y=log2．

∵x≥1且x≠0，∴2x≥2，∴≥2，∴1＜y≤3，

∴反函数的定义域为（1，3]．

由y=得2x=，

∴x=log2且y＞-1

即函数y=（x≥1且x≠0）的反函数：y=log2．

∵x≥1且x≠0，∴2x≥2，∴≥2，∴1＜y≤3，

∴反函数的定义域为（1，3]．

（II）原函数的图象与反函数的图象的交点不一定在直线y=x上．

（III）证明：设（a，b）是f（x）的图象与其反函数的图象的任一点，

由于原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，

则（b，a）也是f（x）的图象与反函数的图象的交点，

且b=f（a），a=f（a），

若a＞b时，交点显然在y=x上．

若a＜b，且f（x）是增函数时，有f（b）＜f（a），从而b＜a．矛盾；

若b＜a，且f（x）是增函数时，有f（a）＜f（b），从而a＜b．矛盾；

若a＜b，且f（x）是减函数时，有f（b）＜f（a），从而a＜b．此时交点不在y=x上；

若b＜a，且f（x）是减函数时，有f（a）＜f（b），从而b＜a．此时交点不在y=x上．

综上所述，f（x）单调递增，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点在y=x上；f（x）单调递减，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点不在y=x上．

解：（1）对数函数它的底数为

所以它的反函数是指数函数；

（2）指数函数的反函数是对数函数；

（3）指数函数的反函数为对数函数；

（4）①当x∈[-1，0）时，y∈（0，1]，此时，其反函数是（x∈[-1，0]）

②当x∈[0，1]时，，y∈[-1，0]，，所求反函数为，（x∈[-1，0]）

∴函数的反函数是。

当x≤-1时，y=x2+1≥2，且有x=-，

此时反函数为y=-（x≥2）．

当x＞-1时，y=-x+1＜2，

且有x=-y+1，此时反函数为y=-x+1（x＜2）．

∴f（x）的反函数f-1（x）=

设f（a）=m，f（b）=n，由于g（x）是f（x）的反函数，

∴g（m）=a，g（n）=b，

从而m+n=f（a）+f（b）=f（ab）=f[g（m）•g（n）]，

∴g（m）•g（n）=g（m+n），

以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a+b）=g（a）•g（b）．