基本初等函数（1）_章节学习

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题型：填空题

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填空题

幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过，则f(x)的解析式是．

正确答案

试题分析：因为幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过，所以，所以f(x)的解析式是。

点评：注意幂函数的解析式与指数函数的解析式的区别。

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题型：填空题

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填空题

已知幂函数的部分对应值如图表：则不等式的解集是

正确答案

试题分析：将（）代入得，，所以，，其定义域为，为增函数，所以可化为，解得，故答案为。

点评：简单题，抽象不等式解法，一般地是认清函数的奇偶性、单调性，转化成具体不等式求解。

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题型：填空题

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填空题

幂函数满足，则曲线与直线围成的封闭图形的面积为___________．

正确答案

；

试题分析：根据已知条件，幂函数满足，那么可知,因此结合定积分的几何意义，表示曲边梯形的面积为

,那么可知面积为,故答案为

点评：考查了函数与定积分之间的综合运用。属于知识点的交汇处出题，属于常规题型。

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题型：填空题

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填空题

幂函数的图像经过，则= ________．

正确答案

试题分析：设，则有，所以，=9

点评：简单题，待定系数法确定幂函数，进一步求函数值。

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题型：填空题

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填空题

幂函数的图象过点，则的解析式为．

正确答案

由待定系数法得，所以

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题型：填空题

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填空题

已知函数的图像过点（2，），则= ．

正确答案

3

解：因为幂函数过点（2，），所以求解得到

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题型：填空题

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填空题

给出下列命题：

(1)幂函数的图像都过点；(2)幂函数的图像不可能是一条直线；

(3)时，函数的图像是一条直线；(4)幂函数当时，是增函数；

(5)幂函数当时，在第一象限内函数值随值的增大而减少。其中正确的命题序号为

正确答案

(5)

略

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题型：填空题

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填空题

已知幂函数f(x)=的图象过点，则___________

正确答案

，将点坐标代入求出。

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题型：填空题

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填空题

幂函数的图像过点，则=_______．

正确答案

试题分析：设幂函数，所以=。

点评：熟记幂函数的形式，注意幂函数与指数函数的区分。属于基础题型。

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题型：填空题

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填空题

已知幂函数的图象过点，则=__________

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

已知幂函数f ( x )过点（2，），则f ( 4 )的值为

正确答案

解：设f(x)= ，则由过点（2，），所以

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题型：填空题

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填空题

若幂函数的图像经过点,则它在A点处的切线的斜率为 .

正确答案

试题分析：令幂函数解析式为，将代入得，所以a=，幂函数为，其导数为，故切线斜率为。

点评：简单题，解的思路比较明确，首先利用待定系数法求幂函数解析式，再利用导数求切线斜率。

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题型：简答题

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简答题

．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图所示的自动通风设施．该设施的下部是等腰梯形，其中米，梯形的高为米，米，上部是个半圆，固定点为的中点．△是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．

（1）设与之间的距离为米，试将三角通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；

（2）当与之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？并求出这个最大面积。

正确答案

解：（1）（i）时，由平面几何知识，得

所以，。………3分

（ii）时，，

所以……………………………6分

（2）（i）时，

，当时，取等号；

………………………8分

（ii）时，

，…………………10分

当时，等号成立。

所以时，。…………………………………12分

综上，当与之间的距离为米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米。………………………14分

略

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题型：填空题

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填空题

如图，给出幂函数在第一象限内的图象，取四个值，则相应于曲线的依次为_

正确答案

分析：可取特殊值，作直线x=2，分别交四条曲线于四点，即可判断．

解答：

解：如图，作直线x=2，分别交四条曲线依次为A，B，C，D，四点，

由于n取±2，±四个值，当x=2时，对应的四个函数值为2-2，2，2，22

∵2-2＜2＜2＜22

故四个点的纵坐标依次为2-2，2，2，22

由四个点得位置关系，四个函数图象对应的n的值从下而上依次为

-2，-，，2

故选A

点评：本题主要考查了幂函数的图象与性质．

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题型：简答题

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简答题

给出集合A={-2，-1，，，，1，2，3}。已知a∈A，使得幂函数为奇函数，指数函数在区间(0，+∞)上为增函数。

（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；

（2）判断f(x)在(0，+∞)的单调性，并证明；

（3）解方程：f[g(x)]=g[f(x)]。

正确答案

（1）a=3

（2）f(x)=x3在(0，+∞)上为增函数

（3）x1=0，x2=，x3=

解：（1）指数函数在区间(0，+∞)上为增函数，∴a>1，∴a只可能为2或3。而当a=2时，幂函数f(x)=x2为偶函数，只有当a=3时，幂函数f(x)=x3为奇函数故a=3…３分

（2）f(x)=x3在(0，+∞)上为增函数。

证明：在(0，+∞)上任取x1，x2，x1<x2，

f(x1)-f(x2)==，

∵x1<x2，∴x1-x2<0，>0，∴f(x1)-f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)。

∴f(x)=x3在(0，+∞)上为增函数。 …８分

（3）　　　　　　　　　　　．．．．１０分

根据指数函数的性质，得3x=x3，∴x1=0，x2=，x3=。 …1２分

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