- 基本初等函数（1）
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已知幂函数Y=f（x）的图象过点（3，
（1）试求出此函数的解析式；
（2）写出此函数的单调区间；
（3）证明此函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．
正确答案
（1）设幂函数f（x）=xa，
则3a=
∴f（x）=x-1；
（2）∴f（x）=x-1的单调递减区间是（0，+∞），（-∞，0）．
（3）取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，那么 f（x1）-f（x2）=
∵0＜x1＜x2∴x1-x2＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x）在（0，+∞）内是减函数．
幂函数
正确答案
略
已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．
（1）求m的值；
（2）求满足(a+1)-m3＜(3-2a)-m3的a的取值范围．
正确答案
（1）∵函数在（0，+∞）上递减，
∴m2-2m-3＜0即-1＜m＜3，又m∈N*
∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，
∴m2-2m-3为偶函数，故m=1为所求．
（2）函数y=x-13在（-∞，0），（0，+∞）上均为减函数
∴(a+1)-13＜(3-2a)-13
等价于a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a或a+1＜0＜3-2a，
解得a＜-1或
故a的取值范围为(-∞， -1)∪(
已知幂函数f（x）=xm2-2m-3（m∈Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象．
正确答案
（1）∵幂函数f（x）=xm2-2m-3（m∈Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称
∴m2-2m-3≤0且m2-2m-3为偶数
解得-1≤m≤3
∴m=-1或m=0或m=1或m=2或m=3
∴f（x）=x-4或f（x）=x0=1（x≠0）
（2）
幂函数y=f（x）的图象经过点（
正确答案
设f（x）=xk，
∵y=f（x）的图象经过点（
∴(
∴k=log182=-
∴f(x)=x-13．
故答案为f(x)=x-13．
已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围为______．
正确答案
[2,3]
函数f(x)＝(x－a)2＋5－a2在(－∞，2]上是减函数，∴a≥2，函数f(x)在[1，a]上是减函数，在[a，a＋1]上是增函数，要使x1，x2∈[1，a＋1]时，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
只要
又f(1)≥f(a＋1)，∴只要f(1)－f(a)≤4，即(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，故2≤a≤3.
已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(a+1)m3＜(3-2a)m3的实数a的取值范围．
正确答案
∵函数在（0，+∞）上递减，
∴m2-2m-3＜0即-1＜m＜3，又m∈N*
∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，
∴m2-2m-3为偶函数，故m=1为所求．
∴函数y=x -13在（-∞，0），（0，+∞）上均为减函数
∴(a+1)m3＜(3-2a)m3等价于a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a或a+1＜0＜3-2a，
解得a＜-1或 
故a的取值范围为（-∞，-1）∪（ 
若幂函数y=xa2-4a-9为偶函数，则a的值不可能是（ ）
正确答案
因为函数是偶函数，则a2-4a-9是偶数，
将各选项中数值代入可知a=4时，a2-4a-9=-9，不符合要求．
故选B．
当0＜x＜1时，f(x)=x2，g(x)=x12，h(x)=x-2的大小关系是______．
正确答案
画出幂函数的图象如下图可知h（x）＞g（x）＞f（x）
故答案为h（x）＞g（x）＞f（x）
幂函数f（x）的图象过点（3，
正确答案
由题意设f（x）=xa，
∵幂函数f（x）的图象过点（3，
∴f（3）=3a=
∴a=
∴y=x 34，⇒x=y43，
交换x，y，得f-1（x）的解析式是 f-1(x)=x43(x≥0)
故答案为：f-1(x)=x43(x≥0)．
已知幂函数y=f（x）的图象过点(2，
正确答案
设幂函数f（x）=xα，
∵幂函数y=f（x）的图象过点(2，
∴f(x)=x-12．
故答案为f(x)=x-12．
已知幂函数y=（m2-5m-5）x2m+1在（0，+∞）上为减函数，则实数m=______．
正确答案
∵y=（m2-5m-5）x2m+1是幂函数
∴m2-5m-5=1解得m=6或m=-1
当m=6时，y=（m2-5m-5）x2m+1=x13不满足在（0，+∞）上为减函数
当m=-1时，y=（m2-5m-5）x2m+1=x-1满足在（0，+∞）上为减函数
故答案为：m=-1
已知幂函数f（x）的图象经过(2，
正确答案
设f（x）=xa，因为幂函数图象经过(2，
则有
∴a=-3，
即f（x）=x-3，
故答案为：x-3．
已知幂函数f(x)=x-12，若f（a+1）＜f（10-2a），则实数a的取值范围是______．
正确答案
∵f(x)=x-12，f（a+1）＜f（10-2a），
∴(a+1)-12＜(10-2a)-12，
∴
解得3＜a＜5．
故答案为：（3，5）．
若幂函数f（x）的图象经过（4，2），则f（9）=______．
正确答案
设幂函数f（x）=xa，
∵幂函数f（x）的图象经过（4，2），
∴4a=2，解得a=
∴f（x）=x 12，
∴f（9）=912=3．
故答案为：3．
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