- 基本初等函数（1）
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某种商品在30天内每件的销售价格P（元）与时间t（t∈N*）（天）的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q（件）与时间t（t∈N*）（天）之间的关系如下表：
（Ⅰ）根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系；
（Ⅱ）根据表中提供的数据，确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
（Ⅲ）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额=每件的销售价格×日销售量）
正确答案
（I）由已知得：
当0＜t＜25时，设P=kt+b
由图象过（0，20），（30，70）点可得：
解得
故P=t+20
当25≤t≤30时，设P=kt+b
由图象过（25，75），（25，45）点可得：
解得
故P=-t+100
综上所述，商品每件的销售价格P与时间t的函数关系为：P=
（II）设日销售量Q与时间t的一个函数关系式为：Q=kt+b
由表格中数据（5，35），（30，10）得
解得
故日销售量Q与时间t的一个函数关系式为：Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N*）；
（III）由（I）（II）可得商品的日销售金额与时间t的函数关系式满足
y=PQ，即y=
当0＜t＜25时，t=10时，函数取最大值900
当25≤t≤30时，t=25时，函数取最大值1125
综上可得：当t=25时，日销售金额最大，且最大值为1125元．
某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：
方案一：建设两个日处理污水量分别为xl和x2（单位：万m3/d）的污水厂，且3≤xl≤5，3≤x2≤5．
方案二：建设一个日处理污水量为xl+x2（单位：万m3/d）的污水厂．
经调研知：
（1）污水处理厂的建设费用P（单位：万元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为P=40x2；
（2）每处理1m3的污水所需运行费用Q（单位：元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为：Q=
（I）如果仅考虑建设费用，哪个方案更经济？
（Ⅱ）若xl+x2=8，问：只需运行多少年，方案二的总费用就不超过方案一的总费用？
注：一年以250个工作日计算；总费用=建设费用+运行费用．
正确答案
（Ⅰ）如果仅考虑建设费用，若使用方案一：P1=40
若使用方案二：P2=40(x1+x2)2=40
∵3≤xl≤5，3≤x2≤5，∴P2＞P1．
故使用方案一更经济．
（Ⅱ）由题意，运行n年后，Q1=40
Q2=40(x1+x2)2+0.4(x1+x2)×250n，
由Q1≥Q2，化为0.2（x1+x2）×250n≥80x1x2，
∵x1+x2=8，∴5n≥x1x2，∴5n≥x1（8-x1）．
∵x1∈[3，5]，∴x1(8-x1)=-
∴当x1=3或5时，即x1（8-x1）=15，经过3年方案二与方案一的总费用相等．
当x1∈（3，5]时，x1（8-x1）∈（15，15]，只需经过4年方案二的总费用就少于方案一的总费用．
用篱笆围成一个面积为196m2的矩形菜园，所用篱笆总长度最短为______m．
正确答案
设菜园的长为xm，则宽为
它的周长为：l=2x+2×
当且仅当x=
故答案为：56．
我国从1998年到2002年，每年的国内生产总值如下表：
（Ⅰ）根据已知数据，估计我国2003年的国内生产总值；
（Ⅱ）据资料可知我国2003年的国内生产总值为116694亿元，你的预测是否准确，若误差较大，能修正你所构造的模型吗？
正确答案
（Ⅰ）本小题只要能建立一个正确的数学模型即可给分（例如根据两点得出直线方程等）．下面利用excel给出几个模型，供参考：
（1）直线型：
将x=6代入y=6197.2x+71045中得2003年的国内生产总值为108228.2亿元．
（2）二次函数型：
将x=6代入y=328.71x2+4224.9x+73346中得2003年的国内生产总值为110529亿元．
（3）四次函数型：
将x=6代入y=224.79x4-3004.1x3+14231x2-21315x+88208中得2003年的国内生产总值为115076.2亿元．
（4）指数函数型：
将x=6代入y=72492e0.0692x中得2003年的国内生产总值为109797亿元．
（5）幂函数型：
将x=6代入y=76113x0.1658中得2003年的国内生产总值为102441.6亿元．
（Ⅱ）从以上的5个模型可以看成，四次函数型最接近2003年的实际国内生产总值，其实从其R2值也可以看出，因为四次函数型中R2=1．
根据自己所建模型予以调整．
．已知函数
正确答案
略
某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件
（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少？
（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
正确答案
（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，年销售收入为
则商场该年对该商品征收的总管理费为
11.8-p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜
（2）由y≥14，得
故当比率在[2%，10%]内时，商场收取的管理费将不少于14万元．
（3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，
厂家的销售收入为g（p）=
∵g（p）=
∴g（p）max=g（2）=700（万元）．
故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元
对于函数f（x）=2x定义域中任意x1，x2（x1≠x2）有如下结论：
（1）f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）
（2）f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）
（3）
（4）
的序号是______．
正确答案
函数f（x）=2x定义域中任意x1，x2（x1≠x2），由于f（x1+x2）=2(x1+x2)=2x1•2x2=f（x1）•f（x2），故（1）不正确、（2）正确．
由于函数f（x）=2x 是定义域内的增函数，故有
由于函数的图象是下凹的，故有
综上可得，（2）、（3）、（4）正确，
故答案为 （2）、（3）、（4）．
课本中介绍了诺贝尔奖，其发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为
r=6.24%．
（1）请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？
（2）设f（x）表示为第x（x∈N*）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为f（1）），试求函数f（x）的表达式．并据此判断新民网一则新闻“2008年度诺贝尔奖各项奖金高达168万美元”是否与计算结果相符，并说明理由．
正确答案
（1）由题意知：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为
19516×(1+6.24%)-
每项奖金发放额为
（2）由题意知：f（1）=19516，
f(2)=f(1)•(1+6.24%)-
f(3)=f(2)•(1+6.24%)-
所以，f（x）=19516•（1+3.12%）x-1（x∈N*）．（5分）
2007年诺贝尔奖发奖后基金总额为f（10）=19516•（1+3.12%）9
2008年度诺贝尔奖各项奖金额为
与168万美元相比少了34万美元，计算结果与新闻不符．（8分）
为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林，经初步统计，在三峡库区内坡度大于25°的坡荒地面积约有2640万亩，若从2003年初开始绿化造林，第一年造林120万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩．
（1）若所有被绿化造林的坡荒地全都成功，问到哪一年底可使库区的坡荒地全部绿化？
（2）若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为0.1万立方米，每年树木木材量的自然生长率为20%，那么当整个库区25°以上坡荒地全部绿化完成的那一年底，一共有木材多少万立方米？（保留1位小数，1.29=5.16，1.28=4.30）
正确答案
（1）设每年应绿化的坡荒地面积为an（单位：万亩），则{an}为等差数列．
∵a1=120，d=60，∴Sn=120n+
令Sn≥2640，即4n+n（n-1）≥88，（n+11）（n-8）≥0，n∈N+，∴n≥8．
故到第8年底，即2010年底可使库区的坡荒地全部绿化．…（5分）
（2）设该库区每年拥有木材量为bn（含种植的树苗及自然生长量，单位：万m3）．则
b1=120×0.1×（1+20%）8=12×1.28；
b2=（120+60）×0.1×（1+20%）7=18×1.27；
…
b8=（120+60×7）×（1+20%）=54×1.2，
∴S8=b1+b2+…+b8=6（2×1.28+3×1.27+…+9×1.2）（1）…8分
1.2S8=6（2×1.29+3×1.28+…+9×1.22） （2）
由（2）-（1）得 0.2 S8=6（2×1.29+1.28+1.27+…1.22-9×1.2）
∴S8=30[2×1.29+
=30（36.12-18）=543.6．
故到2010年底共有木材543.6万m3．…（13分）
当a＞0且a≠1时，函数f（x）=ax+2+5的图象必过定点______．
正确答案
∵当a＞0且a≠1时，函数f（x）=ax+2+5，
∴当x=-2时，f（-2）=a0+5=6，
∴函数f（x）=ax+2+5的图象必过定点（-2，6）．
故答案为（-2，6）．
已知函数f(x)=(
（Ⅰ）若f（x）的最小值记为h（a），求h（a）的解析式．
（Ⅱ）是否存在实数m，n同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时值域为[n2，m2]；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
正确答案
（Ⅰ）设 (
则原函数可化为φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2，t∈[
讨论 ①当a＜
②当
③当a＞3时，h（a）=φ（t）min=φ（3）=12-6a--------------（5分）
∴h(a)=
（Ⅱ） 因为h（a）=12-6a在（3，+∞）上为减函数，而m＞n＞3
∴h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]-------------------------------（7分）
∵h（a）在[n，m]上的值域为[n2，m2]，
∴
两式相减得：6（m-n）=（m-n）（m+n）---------------------------------（10分）
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3时有m+n＞6，矛盾．-----------（11分）
故满足条件的实数m，n不存在．-------------------（12分）
函数f（x）=3+ax-1（a＞0且a≠1）的图象总是经过定点 ______．
正确答案
函数f（x）=3+ax-1（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标与a无关，故 x-1=0，故定点的坐标为（1，4），
故答案为：（1，4）．
对于-1＜a＜1，使不等式(
正确答案
不等式(
就是x2+ax＞2x+a-1
即：（x-1）a+x2-2x+1＞0，
只需满足
解得 x≤0 或x≥2
故答案为：x≤0 或x≥2．
某厂家拟对一商品举行促销活动，当该商品的售价为x元时，全年的促销费用为12（15-2x）（x-4）万元；根据以往的销售经验，实施促销后的年销售量t=12(x-8)2+
（Ⅰ）求出a的值；
（Ⅱ）若每件该商品的成本为4元时，写出厂家销售该商品的年利润y万元与售价x元之间的关系；
（Ⅲ）当该商品售价为多少元时，使厂家销售该商品所获年利润最大．
正确答案
（Ⅰ）∵该商品的售价为6元时，年销售量为49万件，t=12(x-8)2+
∴49=12（6-8）2+
∴a=2；
（Ⅱ）每件该商品的成本为4元时，y=（x-4）t-[12（15-2x）（x-4）]
∴y=（x-4）[12(x-8)2+
=12（x-4）（x-7）2+2（4＜x＜7.5）
（Ⅲ）y′=36（x-7）（x-5）
令y′＞0，4＜x＜7.5，可得4＜x＜5或7＜x＜7.5；令y′＜0，4＜x＜7.5，可得5＜x＜7；
∴当x=5时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为50
∴该商品售价为5元时，使厂家销售该商品所获年利润最大．
设a=0.32，b=20.3，c=log22，则a，b，c三者的大小关系是______（用“＜”连接）
正确答案
由指数函数的性质知a=0.32＜1，1＜b=20.3＜21=2
c=log22=log2122=2log22=2
∴a＜b＜c
故答案为：a＜b＜c
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