- 基本初等函数（1）
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(本小题满分13分)
设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{an}满足：a1＝f(1)＋1，f(－)＋f(＋)＝0.设Sn＝aa＋aa＋aa＋…＋aa＋aa.
(1)求数列{an}的通项公式，并求Sn关于n的表达式；
(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{bn}满足：b＝g()，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小.
正确答案
（1）an＝ . Sn＝[1－].
（2）4Sn<Tn.
解：(1)当x，y∈(0，＋∞)时，有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1得f(1)＝2f(1)，得f(1)＝0，所以a1＝f(1)＋1＝1.(1分)
因为f(－)＋f(＋)＝0，所以f(－)＝0＝f(1).
又因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以－＝1，即－＝4，(3分)
所以数列{}是以1为首项，4为公差的等差数列，所以＝4n－3，所以an＝ .
∵aa＝＝[－]，
∴Sn＝[－＋－＋…＋－]＝[1－].(5分)
(2)由于任意x，y∈R都有g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，则g(2x)＝2g(x)＋2x2，
∴g(1)＝2g()＋2·()2＝2[2g()＋2·()2]＋＝22g()＋＋
＝22[2g()＋2·()2]＋＋＝23g()＋＋＋
＝…＝2ng()＋＋＋＋…＋＋＝1，
∴g()＝，即b＝.
又bn>0，∴bn＝，(9分)
∴Tn＝＋＋…＋＝1－，又4Sn＝1－.
当n＝1,2,3,4时，4n＋1>2n，∴4Sn>Tn；(10分)
当n≥5时，2n＝C＋C＋C＋…＋C＋C>1＋2n＋2＝1＋n2＋n.
而n2＋n＋1－(4n＋1)＝n2－3n＝n(n－3)>0，故4Sn<Tn.(13分)
(用数学归纳法证明参照计分)
不等式31-x＞(
正确答案
原不等式可化为：31-x＞3-4x，∴1-x＞-4x，∴x＞-
故答案为(-
已知不等式为 
正确答案
原不等式为 
3-
根据指数函数的性质得：
-
则x的取值范围是[-
故答案为：[-
函数f（x）=5+ax-1恒过点P，则点P的坐标为______．
正确答案
令x=1，代入f（x）=5+ax-1得，f（1）=6，
∴点P的坐标为（1，6）．
故答案为：（1，6）．
函数y=2-x2+x+2的单调递增区间为______．
正确答案
由于-x2+x+2的单调增区间是：（-∞，
由于指数函数y=2x是增函数，由复合函数的单调性可知，
函数y=2-x2+x+2的单调递增区间：（-∞，
故答案为：（-∞，
某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=______吨．
正确答案
某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，
则需要购买
一年的总存储费用为4x万元，
一年的总运费与总存储费用之和为
当且仅当
即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
故答案为：20．
若a2x+1＞a-2x，其中a=log32，则x的取值范围是：______．
正确答案
a=log32∈（0，1），故函数y=ax是一个减函数
∵a2x+1＞a-2x，
∴2x+1＞-2x，
解得x＜-
故应填（-∞，-
已知函数
正确答案
(1)
略
．已知实数
正确答案
4
本题考查均值不等式定理的应用
由
因为
所以
所以
所以
所以有
即
即
所以
若
正确答案
略
已知函数
（1）若
（2）若
正确答案
（1）
（1）当
由条件可知 
解得 
（2）当
即 
故
0.40.6，log0.44，40.4这三个数的大小顺序是______＜______＜______．
正确答案
由题意可得，0＜0.40.6＜0.40=1，log0.44＜log0.41=0，40.4＞40=1
∴log0.44＜0＜0.40.6＜1＜40.4
故答案为：log0.44，0.40.6，40.4
函数y=ax-3+3恒过定点 ______．
正确答案
因为函数y=ax恒过（0，1），
而函数y=ax-3+3可以看作是函数y=ax向右平移3个单位，图象向上平移3个单位得到的，
所以y=ax-3+3恒过定点 （3，4）
故答案为：（3，4）
设a∈(0，
正确答案
∵a∈(0，
∴0＜aa＜1，
log12a＞1，
0＜a12＜aa，
∴aa，log12a，a12间的大小关系是a12＜aa＜log12a．
故答案为：a12＜aa＜log12a．
函数
正确答案
略
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