基本初等函数（1）_章节学习

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题型：填空题

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填空题

设，则=" " ；

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是上一点．设，长方形PQCR的面积为S平方米．

（1）求S关于的函数解析式；

（2）设，求S关于t的表达式以及S的最大值．

正确答案

（1）延长交于，延长交于，

由是正方形，是矩形，可知，

由，可得，，

∴，，　………………4分

∴

故S关于的函数解析式为

．……6分

（2）由，可得

，即，

∴．　……………9分

又由，可得，

故，

∴S关于t的表达式为（）． ……………11分

又由，

可知当时，取最大值，

故的最大值为．　　　　　　　　 ………………14分

略

1

题型：填空题

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填空题

若2m＞4，则m的取值范围是______；若（0.1）t＞1，则t的取值范围是______．

正确答案

2m＞4=22，由于函数y=2x是增函数，∴m＞2．

（0.1）t＞1=（0.1）0，由于函数y=（0.1）x是减函数，∴t＜0

故答案为：（2，+∞）（-∞，0）

1

题型：填空题

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填空题

已知函数y=a2x-4+1（a＞0且a≠1）的图象过定点A，且点A在直线+=1(m，n＞0)上，则m+n的最小值为______．

正确答案

当x=2时，y=a2×2-4+1=2，

∴函数y=a2x-4+1（a＞0且a≠1）的图象过定点A（2，2），又点A在直线+=1（m＞0，n＞0）上，

∴+=1（m＞0，n＞0），

∴m+n=（m+n）•（+）=2+2++≥4+2=4（当且仅当m=n=4时取“=”）．

故答案为：8．

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知函数，设，．

（Ⅰ）求，的表达式，并直接写出的表达式；

（Ⅱ）设，

若关于的函数在区间上的最小值为，求的值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵，

∴ ．…2分

∴．……………………………………………………………4分

（Ⅱ）∵，

　∴．……………6分

∴． ………………………8分

①当，即时，函数在区间上是减函数，

∴当时，，即，该方程没有整数解．…10分

②当，即时，，解得，综上所述，．…12分

略

1

题型：填空题

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填空题

如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y=at，有以下叙述：

①这个指数函数的底数为2；

②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；

③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1、5个月；

④浮萍每月增加的面积都相等；

⑤若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2=t3；

其中正确的序号是______．

正确答案

∵点（1，2）在函数图象上，

∴2=a1∴a=2，故①正确；

∴函数y=2t在R上是增函数，且当t=5时，y=32故②正确，

4对应的t=2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；

如图所示，1-2月增加2m2，2-3月增加4m2，故④不正确．

对⑤由于：2=2 x1，3=2 x2，6=2 x3，

∴x1=1，x2=log23，x3=log26，

又因为1+log23=log22+log23=log22×3=log26，

∴若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为x1，x2，x3，则x1+x2=x3成立．

故答案为：①②⑤．

1

题型：填空题

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填空题

函数的图像上至少存在不同的三点到(1,0)的距离构成等比数列，则公比的取值范围_____________

正确答案

略

1

题型：填空题

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填空题

已知函数

则 _____________________

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

已知函数，那么

=______________

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）已知函数，，为常数．

（1）求函数的定义域；

（2）若时，对于，比较与的大小；

（3）讨论方程解的个数．

正确答案

解:（1）由，得：，

∴函数的定义域． ……………………………………3分

（2）令，

则时，。

又

（仅在时，）

∴在内是增函数， ……………………………………6分

∴当时，，；

当时，，；

当时，　，． ……………………………………8分

（3）讨论方程解的个数，即讨论零点的个数．

因为，

所以

①当时，，，所以

（仅在时，）

在内是增函数，

又，

所以有唯一零点； ……………………………………9分

②当时，由（2）知有唯一零点； ……………………………………10分

③当时，，

（仅在时，）

所以在内是增函数，

又，

所以有唯一零点； ……………………………………11分

④当时，，

，或时，，递增，

时，，递减．

, ;

时， ; 时，，

∴在区间，及内各有一个零点．

……………………………………13分

综上，当时，方程有唯一解；

当时，方程有三个解． ……………………………………14

略

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题型：填空题

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填空题

已知函数在内连续，则．

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个．若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个．要使利润最大，商品的销售单价为______．

正确答案

假设商品的价格为x元/个，

由题意可得获得利润f（x）=（x-8）[100-10（x-10）]=-10x2+280x-1600=-10（x-14）2+360，

可知：当且仅当x=14时，获得最大利润360元．

故答案为14．

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题型：填空题

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填空题

若函数=，则不等式的解集为．

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

如果指数函数y=（a-2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是 ______．

正确答案

∵指数函数y=（a-2）x在x∈R上是减函数

∴0＜a-2＜1⇒2＜a＜3

故答案为：（2，3）．

1

题型：填空题

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填空题

比较下列各组数的大小

（1）1.9-π______1.9-3；（2）0.723______0.70.3；（3）0.64______0.46；（4）()13______(

3

4

)12．

正确答案

（1）考察函数y=1.9x，它是一个增函数，由于-π＜-3，故1.9-π＜1.9-3；故答案为＜

（2）考察函数y=0.7x，它是一个减函数，由于＞0.3，故0.7 23＜0.70.3，故答案为＜

（3）两数都是正数，因为＞1，故0.64＞0.46，故答案为＞

（4）因为 (

3

4

)12=(

4

3

)-12，考察y=(

4

3

)x，是一个增函数，

由于＞-故(

4

3

)13＞(

4

3

)-12，即(

4

3

)13＞(

3

4

)12，故答案为＞

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