- 基本初等函数（1）
- 共14786题
某研究小组为了解某一路口周一上午6：00--9：00进、出市区的车辆数量变化规律，以每5分钟为一个统计单位（如6：00--6：05为第1个统计单位，6：05--6：10为第2个统计单位，…）进行跟踪统计（分别记第1个统计单位内统计的进、出市区的车辆数为a1、b1，第2个统计单位内统计的进、出市区的车辆数为a2、b2，…，第n个统计单位内统计的进、出市区的车辆数为an、bn）．某同学根据测得的数据绘制了图-1，图-2．
（1）根据图象，试用一次函数拟合an、bn关于n的表达式；
（2）计算（8：00--8：05）这一统计单位内通过该路口的进、出车辆总数，指出在哪一个统计单位内进、出市区车辆的总数达到最大值？并说明理由．
正确答案
解：（1）根据所给的第一个图象，看出图象是由三段组成的，每一段都是直线的一部分，
根据两个端点的坐标，利用待定系数法得到直线的方程和自变量的范围．
根据第二个图象给出的直线的一部分和端点的坐标，求出解析式
（2）
时间段（8：00-8：05）对应的进出车辆数总和为a23+b25=-6×25+594=444（辆）--（12分）
由分段一次函数的单调性知：当n=18时，（an+bn）max=486（辆）--（14分）
解析
解：（1）根据所给的第一个图象，看出图象是由三段组成的，每一段都是直线的一部分，
根据两个端点的坐标，利用待定系数法得到直线的方程和自变量的范围．
根据第二个图象给出的直线的一部分和端点的坐标，求出解析式
（2）
时间段（8：00-8：05）对应的进出车辆数总和为a23+b25=-6×25+594=444（辆）--（12分）
由分段一次函数的单调性知：当n=18时，（an+bn）max=486（辆）--（14分）
某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为
正确答案
解析
解：设公司在甲地销售品牌车x辆，则在乙地销售品牌车（15-x）辆，
根据题意得，利润y=-x2+21x+2（15-x）=-（x-
∵x是正整数，
∴x=9或10时，能获得最大利润，最大利润为120万元
故选C．
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
正确答案
解：（Ⅰ） 由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得
故函数v（x）的表达式为
（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200-x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（Ⅰ） 函数v（x）的表达式
（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
解析
解：（Ⅰ） 由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得
故函数v（x）的表达式为
（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200-x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（Ⅰ） 函数v（x）的表达式
（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
正确答案
解析
解：由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小．如图所示，设AE=x，BE=y，（其中x＞0，y＞0），则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y；
由题意，得
所以，正方形窗口的边长至少应为
照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为 m元，则他的满意度为
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．
（1）求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA=
（2）设mA=
（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．
正确答案
解析
解：（1）甲：买进A的满意度为hA1=
所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲=
乙：卖出A的满意度为：hA2=
所以，乙卖出A与买进B的综合满意度h乙=
当mA=
（2）设mB=x（其中x＞0），当mA=
h甲=h乙=
当且仅当x=
甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为
（3）不能由（2）知h0=
因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立．
某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）的每平方米的平均建筑费用与楼层有关，若该楼建成x层时，每平方米的平均建筑费用用f（x）表示，且f（n）=f（m）（1+
正确答案
解：设该楼建成x层，则每平方米的购地费用为：
每平方米的平均建筑费用为：由f（5）=400，知f（x）=f（5）（1+
从而每平方米的综合费用为y=f（x）+
故当该楼建成8层时，每平方米的综合费用最省．
解析
解：设该楼建成x层，则每平方米的购地费用为：
每平方米的平均建筑费用为：由f（5）=400，知f（x）=f（5）（1+
从而每平方米的综合费用为y=f（x）+
故当该楼建成8层时，每平方米的综合费用最省．
由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y（个浓度单位）与时间x（个时间单位）的关系为
（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？
（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．
正确答案
解：（1）由题意，
综上，得
即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为
（2）当
当2＜x≤4时，
所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即
由
所以最大浓度发生的时间位于区间
当
=
故当且仅当
解析
解：（1）由题意，
综上，得
即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为
（2）当
当2＜x≤4时，
所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即
由
所以最大浓度发生的时间位于区间
当
=
故当且仅当
某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部分对市场销售的商品要征收附加费，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率，据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%（即每百元征收P元）时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：
（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；
（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；
（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．
正确答案
解：（1）对商品A的附加税率为p%，
所以可销售 80-10p 万件，销售额为6400-800p万元，
所以税额为64p-8p2万元，
64p-8p2≥96，
所以（p-2）（p-6）≤0，
所以p的范围2≤p≤6．
（2）∵销售额为g（P）=6400-800p，2≤p≤6．单调递减
∴g（P）=6400-800p，最大值为g（2）=4=6400-1600=4800万元，
此时p=2
（3）每年所获的税金k（p）=64p-8p2万元，
根据二次函数的性质得出：p=4时，金k（p）=64p-8p2取最大值．
所以k（p）取最大值时，p=4
解析
解：（1）对商品A的附加税率为p%，
所以可销售 80-10p 万件，销售额为6400-800p万元，
所以税额为64p-8p2万元，
64p-8p2≥96，
所以（p-2）（p-6）≤0，
所以p的范围2≤p≤6．
（2）∵销售额为g（P）=6400-800p，2≤p≤6．单调递减
∴g（P）=6400-800p，最大值为g（2）=4=6400-1600=4800万元，
此时p=2
（3）每年所获的税金k（p）=64p-8p2万元，
根据二次函数的性质得出：p=4时，金k（p）=64p-8p2取最大值．
所以k（p）取最大值时，p=4
（1）若∠PAT=θ，试写出四边形RPQC的面积S关于θ的函数表达式，并写出定义域；
（2）试求停车场的面积最大值．
正确答案
则AM=90cosθ，MP=90sinθ，
PQ=100-90cosθ，PR=100-90sinθ．
∴SPQCR=PQ•PR=（100-90cosθ）（100-90sinθ）
=10000-9000（cosθ+sinθ）+8100cosθsinθ，{θ|0≤θ≤
（2）设t=cosθ+sinθ，
∵0°≤θ≤90°，
∴
∴当
答：长方形停车场PQCR面积的最大值为
解析
则AM=90cosθ，MP=90sinθ，
PQ=100-90cosθ，PR=100-90sinθ．
∴SPQCR=PQ•PR=（100-90cosθ）（100-90sinθ）
=10000-9000（cosθ+sinθ）+8100cosθsinθ，{θ|0≤θ≤
（2）设t=cosθ+sinθ，
∵0°≤θ≤90°，
∴
∴当
答：长方形停车场PQCR面积的最大值为
某商店销售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元．现该店推出两种优惠办法：
（1）买一个茶壶赠送一个茶杯；
（2）按购买总价的92%付款．
某顾客需购买茶壶4个，茶杯若干个（不少于4个），试建立在两种优惠办法下，付款y（元）与购买茶杯个数x（个）之间的函数关系式，由此能否决定选择哪种优惠办法省钱？
正确答案
解：优惠办法（1）：y1=4×20+（x-4）×5=5x+60（x≥4，x∈N*），
优惠办法（2）：y2=0.92（4×20+5x）=4.6x+73.6（x≥4，x∈N*）
当y1=y2，5x+60=4.6x+73.6，解得：x=34
∵x≥4，x∈N*，
∴当4≤x＜34时，优惠办法（1）省钱；当x=34时，两种方法一样优惠；当x＞34时，优惠办法（2）省钱．
解析
解：优惠办法（1）：y1=4×20+（x-4）×5=5x+60（x≥4，x∈N*），
优惠办法（2）：y2=0.92（4×20+5x）=4.6x+73.6（x≥4，x∈N*）
当y1=y2，5x+60=4.6x+73.6，解得：x=34
∵x≥4，x∈N*，
∴当4≤x＜34时，优惠办法（1）省钱；当x=34时，两种方法一样优惠；当x＞34时，优惠办法（2）省钱．
正确答案
20
解析
解：设小正方形边长为x，铁盒体积为V．
V=（30-2x）2•x=4x3-120x2+900x．
V′=12x2-240x+900=12（x-5）（x-15）．
∵30-2x＞0，
∴0＜x＜15．
∴x=5时，Vmax=2100．
∴盒子的底面边长是20cm时，盒子的容积最大
故答案为：20．
为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（分）与通话费y（元）的关系如图所示：
（1）分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？
正确答案
解：（1）由图象可设y1=k1x+29，y2=k2x，
把点B（30，35），C（30，15）分别代入y1，y2，得
∴
（2）令y1=y2，即
当x=
当x＜
当x＞
解析
解：（1）由图象可设y1=k1x+29，y2=k2x，
把点B（30，35），C（30，15）分别代入y1，y2，得
∴
（2）令y1=y2，即
当x=
当x＜
当x＞
在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月生产x台某种产品的收入为R（x）元，成本为C（x）元，且R（x）=3000x-20x2，C（x）=600x+4000（x∈N*），现已知该公司每月生产该产品不超过100台，（利润=收入-成本）
（1）求利润函数P（x）以及它的边际利润函数MP（x）；
（2）求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．
正确答案
解：（1）利用题意可得P（x）=R（x）-C（x）=（3000x-20x2）-（600x+4000）=-20x2+2400x-4000，
∴MP（x）=P（x+1）-P（x）=[-20（x+1）2+2400（x+1）-4000]-（-20x2+2400x-4000）=2380-40x．x∈[1，100]，x∈N*．
（2）P（x）=-20（x-60）2+68000，x∈[1，100]，x∈N*．
当x=60时，P（x）取得最大值68000元．
∵MP（x）=2380-40x在x∈[1，100]，x∈N*．是减函数，
∴当x=1时，MP（x）取得最大值2380-40=2340．
故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差是65660元．
解析
解：（1）利用题意可得P（x）=R（x）-C（x）=（3000x-20x2）-（600x+4000）=-20x2+2400x-4000，
∴MP（x）=P（x+1）-P（x）=[-20（x+1）2+2400（x+1）-4000]-（-20x2+2400x-4000）=2380-40x．x∈[1，100]，x∈N*．
（2）P（x）=-20（x-60）2+68000，x∈[1，100]，x∈N*．
当x=60时，P（x）取得最大值68000元．
∵MP（x）=2380-40x在x∈[1，100]，x∈N*．是减函数，
∴当x=1时，MP（x）取得最大值2380-40=2340．
故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差是65660元．
某市电力公司在电力供不应求时期，为了居民节约用电，采用“阶梯电价”方法计算电价，每月用电不超过100度时，按每度0.5元计费，每月用电超过100度时，超过部分按每度0.6元计费，每月用电超过150度时，超过部分按每度0.7元计费．
（Ⅰ）设每月用电x度，应交电费y元，写出y关于x的函数；
（Ⅱ）已知小王家第一季度缴费情况如下：
问：小王家第一季度共用了多少度电？
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，当0≤x≤100时，y=0.5x，…（1分）
当100＜x≤150时，y=0.5×100+0.6（x-100）=0.6x-10…（2分）
当x＞150时，y=0.5×100+0.6×50+0.7（x-150）=0.7x-25…（2分）
∴y关于x的函数为y=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知0.7x-25=87，∴x=160；0.6x-10=62，∴x=120；0.5x=45.8，∴x=91.6，
∴小王家第一季度共用了160+120+91.6=371.6度电．
解析
解：（Ⅰ）依题意，当0≤x≤100时，y=0.5x，…（1分）
当100＜x≤150时，y=0.5×100+0.6（x-100）=0.6x-10…（2分）
当x＞150时，y=0.5×100+0.6×50+0.7（x-150）=0.7x-25…（2分）
∴y关于x的函数为y=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知0.7x-25=87，∴x=160；0.6x-10=62，∴x=120；0.5x=45.8，∴x=91.6，
∴小王家第一季度共用了160+120+91.6=371.6度电．
正确答案
解：设矩形的长为xm，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积是Sm2，根据题意，知
S=dx，且2x+πd=400．
∴S=dx=
当且仅当πd=2x=200，即x=100时等号成立，此时，d=
所以，应设计矩形的长为100m，宽约为63.7m时，矩形面积最大．
解析
解：设矩形的长为xm，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积是Sm2，根据题意，知
S=dx，且2x+πd=400．
∴S=dx=
当且仅当πd=2x=200，即x=100时等号成立，此时，d=
所以，应设计矩形的长为100m，宽约为63.7m时，矩形面积最大．
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