- 基本初等函数（1）
- 共14786题
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图（1）；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（2）．（注：收益与投资额单位：万元）
（Ⅰ）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；
（Ⅱ）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
正确答案
解：（Ⅰ）f（x）=k1x，g（x）=k2
∴f（1）=
∴f（x）=
（Ⅱ）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20-x万元．
y=f（x）+g（20-x）=
令t=
所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，ymax=3万元．
解析
解：（Ⅰ）f（x）=k1x，g（x）=k2
∴f（1）=
∴f（x）=
（Ⅱ）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20-x万元．
y=f（x）+g（20-x）=
令t=
所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，ymax=3万元．
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100]（单位：万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）若建立函数模型y=f（x）制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；
（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：（1）y=
正确答案
解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），
则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10，100]时，f（x）是增函数；
②当x∈[10，100]时，f（x）≤5恒成立；
③当x∈[10，100]时，
（Ⅱ）（1）对于函数模型
它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当x=80时，y=5，因此，当x＞80时，y＞5，不满足条件②；
故该函数模型不符合公司要求．
（2）对于函数模型y=log2x-2，它在[10，100]上是增函数．满足条件①，
x=100时ymax=log2100-2=2log25＜5，即f（x）≤5恒成立．满足条件②，
设
∴
∴
所以h（x）在[10，100]上是递减的，因此h（x）＜h（10）=log210-4＜0，
即
故该函数模型符合公司要求
综上所述，函数模型y=log2x-2符合公司要求．
解析
解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），
则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10，100]时，f（x）是增函数；
②当x∈[10，100]时，f（x）≤5恒成立；
③当x∈[10，100]时，
（Ⅱ）（1）对于函数模型
它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当x=80时，y=5，因此，当x＞80时，y＞5，不满足条件②；
故该函数模型不符合公司要求．
（2）对于函数模型y=log2x-2，它在[10，100]上是增函数．满足条件①，
x=100时ymax=log2100-2=2log25＜5，即f（x）≤5恒成立．满足条件②，
设
∴
∴
所以h（x）在[10，100]上是递减的，因此h（x）＜h（10）=log210-4＜0，
即
故该函数模型符合公司要求
综上所述，函数模型y=log2x-2符合公司要求．
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设∠CAB=θ（rad），将θ表示成y 的函数；并写出函数的定义域．
②设AC=x（km），将x表示成y的函数；并写出函数的定义域．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？
正确答案
解：（1）①在直角△ABC中，AC=20cosθ，BC=20sinθ，则y=
当x=10
所以y表示成x的函数为y=
②由题意知AC⊥BC，BC2=400-x2，y=
（2）选②，则y′=
令y‘=0得18x4=8（400-x2）2，
所以x2=160，即x=4
当0＜x＜4
当4
所以当x=4
解析
解：（1）①在直角△ABC中，AC=20cosθ，BC=20sinθ，则y=
当x=10
所以y表示成x的函数为y=
②由题意知AC⊥BC，BC2=400-x2，y=
（2）选②，则y′=
令y‘=0得18x4=8（400-x2）2，
所以x2=160，即x=4
当0＜x＜4
当4
所以当x=4
将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 ______cm2．
正确答案
12.5
解析
解：设一段铁丝的长度为x，另一段为（20-x），
则S=
∴由函数当x=10cm时，S最小，为12.5cm2．
答：这两个正方形面积之和的最小值是12.5cm2．
故答案为：12.5．
某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B 产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系；
（2）分别求出投资生产这两种产品的最大利润；
（3）该企业投资哪种产品可获得最大利润？
正确答案
解：（1）生产A产品的年利润y1=10x-（20+mx）=（10-m）x-20（其中0＜x≤200，且x∈N）；
生产B产品的年利润y2=18x-（8x+40）-0.05x2=-0.05x2+10x-40（其中0＜x≤120，且x∈N）．
（2）由m∈[6，8]，得10-m＞0，∴y1=（10-m）x-20为增函数；
又0≤x≤200，x∈N∴x=200时，生产A产品有最大利润为（10-m）×200-20=1980-200m（万美元）；
y2=-0.05x2+10x-40=-0.05（x-100）2+460（其中0≤x≤120，x∈N），
∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元）．
（3）由（y1）max-（y2）max=1980-200m-460=1520-200m，得：
当1520-200m＞0时，6≤m＜7.6，此时投资A产品200件可获得最大利润；
当1520-200m=0时，m=7.6，此时生产A产品与B产品均可获得最大年利润；
当1520-200m＜0时，7.6＜m≤8，此时投资B产品100件可获得最大利润．
解析
解：（1）生产A产品的年利润y1=10x-（20+mx）=（10-m）x-20（其中0＜x≤200，且x∈N）；
生产B产品的年利润y2=18x-（8x+40）-0.05x2=-0.05x2+10x-40（其中0＜x≤120，且x∈N）．
（2）由m∈[6，8]，得10-m＞0，∴y1=（10-m）x-20为增函数；
又0≤x≤200，x∈N∴x=200时，生产A产品有最大利润为（10-m）×200-20=1980-200m（万美元）；
y2=-0.05x2+10x-40=-0.05（x-100）2+460（其中0≤x≤120，x∈N），
∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元）．
（3）由（y1）max-（y2）max=1980-200m-460=1520-200m，得：
当1520-200m＞0时，6≤m＜7.6，此时投资A产品200件可获得最大利润；
当1520-200m=0时，m=7.6，此时生产A产品与B产品均可获得最大年利润；
当1520-200m＜0时，7.6＜m≤8，此时投资B产品100件可获得最大利润．
某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表：
（注：本地话费以分钟为单位计费，长途话费以6秒钟为单位计费）
若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间（分钟）的范围在区间（60，70）内，请选择较为省钱的网络并说明理由．
正确答案
解：设长途时间为x分钟，则本地时间为5x分钟，则
甲的费用S1=12+2.4x
乙的费用S2=3.7x
∵S2-S1=1.3x-12≥1.3×10-12=1＞0
∴S2＞S1
∴甲省钱
答：联通130网省钱．
解析
解：设长途时间为x分钟，则本地时间为5x分钟，则
甲的费用S1=12+2.4x
乙的费用S2=3.7x
∵S2-S1=1.3x-12≥1.3×10-12=1＞0
∴S2＞S1
∴甲省钱
答：联通130网省钱．
如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，动点P从点B出发，沿B→C→D的线路匀速运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是 ______．
正确答案
10
解析
解：根据题意，
当P在BC上时，三角形面积增大，结合图2可得，BC=4；
当P在CD上时，三角形面积不变，结合图2可得，CD=5；
故△BCD的面积是 
故答案为：10．
某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费（即电话费）与网络维护费两部分．现有政策规定：通讯费为0.02元/分钟，但每月30元封顶（即超过30元则只需交30元），网络维护费1元/小时，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时．
（1）将该网民在某月内在家上网的费用y（元）表示为时间t（小时）的函数；
（2）试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜？
正确答案
解：（1）通讯费为0.02元/分钟=1.2元/小时
当不超过10小时时，费用y=10+1.2t
当超过10小时，而不超过25小时时，费用y=（1+1.2）t=2.2t
当超过25小时，费用y=t+30
∴家里上网的费用y（元）表示为时间t（小时）的函数为
（2）附近网吧上网，价格为1.5元/小时，则附近网吧上网的费用表示为时间t（小时）的函数为f（t）=1.5t．
当1.5t＞t+30时，即t＞60时，在家上网便宜；
当1.5t＞2.2t时，不满足题意；
当1.5t＞10+1.2t时，
即上网时间超过60小时则在家上网便宜．
解析
解：（1）通讯费为0.02元/分钟=1.2元/小时
当不超过10小时时，费用y=10+1.2t
当超过10小时，而不超过25小时时，费用y=（1+1.2）t=2.2t
当超过25小时，费用y=t+30
∴家里上网的费用y（元）表示为时间t（小时）的函数为
（2）附近网吧上网，价格为1.5元/小时，则附近网吧上网的费用表示为时间t（小时）的函数为f（t）=1.5t．
当1.5t＞t+30时，即t＞60时，在家上网便宜；
当1.5t＞2.2t时，不满足题意；
当1.5t＞10+1.2t时，
即上网时间超过60小时则在家上网便宜．
国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况，它的计算公式为
李先生的居住地2002年比1998年食品价格下降了7.5%，李先生一家在2002年购买食品和1998年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2002年属于（ ）
正确答案
解析
解析：设1998年人均食品消费x元，
则2002年人均食品支出：x（1-7.5%）=92.5%x，
2002年人均消费支出：2×92.5%x+475，
由题意，有2×92.5%x+475+75=2x+475
∴x=500．
此时，
≈0.3304=33.04%
故选D
某商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数是：P=
该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是：Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N*），求这种商品的日销售金额的最大值．
正确答案
解：设日销售金额为y元，则y=P•Q
y=
当0＜t＜25，t∈N+时，
y=-t2+20t+800=-（t-10）2+900，
∴t=10时，ymax=900元．
当25≤t≤30，t∈N+时，
y=t2-140t+4000=（t-70）2-900，
∴t=25时，ymax=1125元．
综上所述，这种商品日销售额的最大值为1125元．
解析
解：设日销售金额为y元，则y=P•Q
y=
当0＜t＜25，t∈N+时，
y=-t2+20t+800=-（t-10）2+900，
∴t=10时，ymax=900元．
当25≤t≤30，t∈N+时，
y=t2-140t+4000=（t-70）2-900，
∴t=25时，ymax=1125元．
综上所述，这种商品日销售额的最大值为1125元．
假设国家收购某种农产品的价格是1.2元/kg，其中征税标准为每100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8%），计划可收购mkg．为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购可增加2x个百分点．
（1）写出税收y（元）与x的函数关系；
（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，确定x的取值范围．
正确答案
解：（1）由题知，调节后税率为（8-x）%，
预计可收购m（1+2x%）kg，总金额为1.2m（1+2x%）元
∴y=1.2m（1+2x%）（8-x）%=
（2）∵原计划税收1.2m•8%元，
∴1.2m（1+2x%）（8-x）%≥1.2m•8%•78%，
得x2+42x-88≤0，-44≤x≤2，又∵0＜x≤8，
∴x的取值范围为0＜x≤2．
解析
解：（1）由题知，调节后税率为（8-x）%，
预计可收购m（1+2x%）kg，总金额为1.2m（1+2x%）元
∴y=1.2m（1+2x%）（8-x）%=
（2）∵原计划税收1.2m•8%元，
∴1.2m（1+2x%）（8-x）%≥1.2m•8%•78%，
得x2+42x-88≤0，-44≤x≤2，又∵0＜x≤8，
∴x的取值范围为0＜x≤2．
某商场经营一批进价为12元/个的小商品，在4天的试销中，对此商品的销售单价x（元）与相应的日销售量y（个）作了统计，其数据如下：
（1）观察表中数据发现，y是x的一次函数，请求出函数解析式；
（2）设经营此商品的销售利润为P（元），求P关于x的函数解析式，并求出x为多少时，能使日销售利润取最大值？最大值为多少？
正确答案
解：（1）∵y是x的一次函数
∴设y=kx+b
然后代入两组x，y数据解得：
y=-3x+90
（2）设经营此商品的销售利润为P（元），
根据题意：
P=（x-12）（-3x+90）
=-3（x-21）2+243
∴x=21时，Pmax=243
解析
解：（1）∵y是x的一次函数
∴设y=kx+b
然后代入两组x，y数据解得：
y=-3x+90
（2）设经营此商品的销售利润为P（元），
根据题意：
P=（x-12）（-3x+90）
=-3（x-21）2+243
∴x=21时，Pmax=243
深圳科学高中大约共有600台空调，空调运行所释放的氟里昂会破坏大气上层的臭氧层．假设臭氧层含量W呈指数型函数变化，满足关系
（1）判断函数
（2）多少年后将会有一半的臭氧消失？
正确答案
解：（1）函数
证明：对任意的t1，t2∈[0，+∞）且t1＜t2，有 …（3分）
又t2＞t1≥0，所以t1-t2＜0，
又0＜e-0.02＜1，所以
所以，函数
（2）一半的臭氧消失时，
解得，t=34.66．…（11分）
即34.66年后，将会有一半的臭氧消失．…（12分）
解析
解：（1）函数
证明：对任意的t1，t2∈[0，+∞）且t1＜t2，有 …（3分）
又t2＞t1≥0，所以t1-t2＜0，
又0＜e-0.02＜1，所以
所以，函数
（2）一半的臭氧消失时，
解得，t=34.66．…（11分）
即34.66年后，将会有一半的臭氧消失．…（12分）
某单位职工月薪最低是1000元，最高为10000元，若收入超过3500元的部分为应纳税所得额，当应纳税所得额不超过1500元，税率为百分之二；超过1500元至4500元的部分，税率为百分之十，超过4500元至9000元的部分，税率为百分之二十，求：
（1）写出该单位职工交税金额y和其月薪x之间的函数表达式
（2）张三月薪为4000元，他应交个人所得税多少元？
（3）该单位职工税后最高收入为多少元？
正确答案
解：（1）当1000≤x≤3500时，y=0；
当3500＜x≤5000时，y=（x-3500）×2%=0.02x-70；
当5000＜x≤8000时，y=1500×2%+（x-5000）×10%=0.1x-470；
当8000＜x≤10000时，y=1500×2%+3000×10%+（x-8000）×20%
=0.2x-1270．
综上可得，y=
（2）当x=4000时，y=0.02×4000-70=10（元），
则他应交个人所得税10元；
（3）设该单位职工税后收入为z元．
当1000≤x≤3500时，y=0，z∈[1000，3500]；
当3500＜x≤5000时，z=x-y=70+0.98x∈（3500，4970]；
当5000＜x≤8000时，z=x-y=470+0.9x∈（4970，7670]；
当8000＜x≤10000时，z=x-y=1270+0.8x∈（7670，9270]．
故该单位职工税后最高收入为9270元．
解析
解：（1）当1000≤x≤3500时，y=0；
当3500＜x≤5000时，y=（x-3500）×2%=0.02x-70；
当5000＜x≤8000时，y=1500×2%+（x-5000）×10%=0.1x-470；
当8000＜x≤10000时，y=1500×2%+3000×10%+（x-8000）×20%
=0.2x-1270．
综上可得，y=
（2）当x=4000时，y=0.02×4000-70=10（元），
则他应交个人所得税10元；
（3）设该单位职工税后收入为z元．
当1000≤x≤3500时，y=0，z∈[1000，3500]；
当3500＜x≤5000时，z=x-y=70+0.98x∈（3500，4970]；
当5000＜x≤8000时，z=x-y=470+0.9x∈（4970，7670]；
当8000＜x≤10000时，z=x-y=1270+0.8x∈（7670，9270]．
故该单位职工税后最高收入为9270元．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．
正确答案
解：（1）当
∴MN=2（2a-1）x+1，
∴S=f（x）=
当
=
∴
（2）当
∵
∴
∴
①
②a＞1，当
当
=
等号成立⇔
∴
当
∴
当
a＞1时，
当
综上，
即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为
当
三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为
解析
解：（1）当
∴MN=2（2a-1）x+1，
∴S=f（x）=
当
=
∴
（2）当
∵
∴
∴
①
②a＞1，当
当
=
等号成立⇔
∴
当
∴
当
a＞1时，
当
综上，
即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为
当
三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为
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