- 基本初等函数（1）
- 共14786题
某公司打算在甲、乙两地促销同一种汽车，已知两地的销售利润（单位：万元）与销售量（单位：辆）之间的关系分别为y1=5.06t-0.15t2和y2=2t，其中t为销售量（t∈N）．公司计划在这两地共销售15辆汽车．
（1）设甲地销售量为x，试写出公司能获得的总利润y与x之间的函数关系；
（2）求公司能获得的最大利润．
正确答案
解：（1）设甲地销售量为x（台），则乙地销售量为15-x（台），则
y=y1+y2=5.06x-0.15x2+2（15-x）=-0.15x2+3.06x+30 （0≤x≤15，x∈N）；
（2）利润函数y=-0.15x2+3.06x+30图象为开口向下的抛物线
对称轴为x=10.2，因x∈N，故当x=10时，总利润y取得最大值，
最大值为ymax=-0.15×102+3.06×10+30=45.6（万元）．
解析
解：（1）设甲地销售量为x（台），则乙地销售量为15-x（台），则
y=y1+y2=5.06x-0.15x2+2（15-x）=-0.15x2+3.06x+30 （0≤x≤15，x∈N）；
（2）利润函数y=-0.15x2+3.06x+30图象为开口向下的抛物线
对称轴为x=10.2，因x∈N，故当x=10时，总利润y取得最大值，
最大值为ymax=-0.15×102+3.06×10+30=45.6（万元）．
交管部门遵循公交优先的原则，在某路段开设了一条仅供车身长为10m的公共汽车行驶的专用车道，据交管部门收集的大量数据分析发现，该车道上行驶着的前后两辆公共汽车间的安全距离d（m）与车速v（km/h）之间满足二次函数关系d=f（v），现已知车速为15km/h时，安全距离为8m；车速为45km/h时，安全距离为38m；出现堵车状况时，两车安全距离为2m．
（1）试确定d关于v的函数关系式d=f（v）；
（2）车速v（km/h）为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多？最多是多少辆？
正确答案
解：（1）设d=f（v）=av2+bv+c（a≠0），则
∵车速为15km/h时，安全距离为8m；车速为45km/h时，安全距离为38m；出现堵车状况时，两车安全距离为2m，
∴
∴c=2，a=
∴d=f（v）=
（2）因为两车间距为d，则两辆车头间的距离为l0+d（m）
单位时段内通过汽车的数量为Q最大，只需
由（1）知Q=
当
∴在交通繁忙时，应规定车速为30km/h，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多，最多是1000辆．
解析
解：（1）设d=f（v）=av2+bv+c（a≠0），则
∵车速为15km/h时，安全距离为8m；车速为45km/h时，安全距离为38m；出现堵车状况时，两车安全距离为2m，
∴
∴c=2，a=
∴d=f（v）=
（2）因为两车间距为d，则两辆车头间的距离为l0+d（m）
单位时段内通过汽车的数量为Q最大，只需
由（1）知Q=
当
∴在交通繁忙时，应规定车速为30km/h，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多，最多是1000辆．
（2）（如图2）在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是边AB，BC上的点，且AE=BF=x，设多边形的面积为y，当x为何值时，多边形AEFCD的面积最小？
正确答案
解：（1）由题意，∵PQ∥BE，∴
∵DN=4-AN=4-（1-x）=3+x，
∴矩形PMDN的面积y=（4-3x）（3+x）（0≤x≤1）
∴y=-3
∵0≤x≤1，∴x=0时，ymax=12；
（2）多边形AEFCD的面积等于正方形的面积减去三角形的面积，所以y=16-
∵
∴y≥16-2=14
∴x=2时，ymin=14
解析
解：（1）由题意，∵PQ∥BE，∴
∵DN=4-AN=4-（1-x）=3+x，
∴矩形PMDN的面积y=（4-3x）（3+x）（0≤x≤1）
∴y=-3
∵0≤x≤1，∴x=0时，ymax=12；
（2）多边形AEFCD的面积等于正方形的面积减去三角形的面积，所以y=16-
∵
∴y≥16-2=14
∴x=2时，ymin=14
某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=-x+100 的关系．设商店获得的利润（利润=销售总收入-总成本）为S元．
（Ⅰ）试用销售单价x表示利润S；
（Ⅱ）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
正确答案
解：（1）S（x）=xy-40y=（x-40）y
=（x-40）（-x+100）
=-x2+140x-4000（40≤x≤80）．
（2）S（x）=-（x-70）2+900（40≤x≤80）．
当销售单价定为70元/件时，该商店可获得最大利润900元，此时的销售量是30件．
解析
解：（1）S（x）=xy-40y=（x-40）y
=（x-40）（-x+100）
=-x2+140x-4000（40≤x≤80）．
（2）S（x）=-（x-70）2+900（40≤x≤80）．
当销售单价定为70元/件时，该商店可获得最大利润900元，此时的销售量是30件．
某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是（ ）
正确答案
解析
解：设该商品原价为a，四年后价格为a（1+0.2）2（1-0.2）2=0.926a，
所以（1-0.9216）a=0.0784a=7.84%a，即比原来减少了7.84%．
故选B．
有一批影碟机原销售价为每台800元、在甲乙两家家电商场均有销售，甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依此类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台单价不能低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买x台此批影碟机，但只能在一家商场购买，在甲商场买花了y甲元，在乙商场买花了y乙元．
（1）写出y甲和y乙的表达式；
（2）当购买多少台时，在两个商场买是一样的？
（3）就购买数x讨论到哪家商场购买更省钱？
正确答案
解：（1）800-20x=440，∴x=18．
当1≤x＜18 时，y甲=（800-20x）x；
当x≥18时，y甲=440x．
∴y甲=
y乙=800×75%x=600x．
（2）当x≥18时，y甲＜y乙，∴x＜18．
由（800-20x）x=600x，得x=10（台）
（3）x=10时，y甲=y乙．
1≤x＜10，
x＞10时，
综上可知：当台数大于10台时，在甲商场买便宜；
当台数小于10台时，在乙商场买便宜；
当买10台时，两商场一样．
解析
解：（1）800-20x=440，∴x=18．
当1≤x＜18 时，y甲=（800-20x）x；
当x≥18时，y甲=440x．
∴y甲=
y乙=800×75%x=600x．
（2）当x≥18时，y甲＜y乙，∴x＜18．
由（800-20x）x=600x，得x=10（台）
（3）x=10时，y甲=y乙．
1≤x＜10，
x＞10时，
综上可知：当台数大于10台时，在甲商场买便宜；
当台数小于10台时，在乙商场买便宜；
当买10台时，两商场一样．
甲乙两地相距100公里，汽车从甲地到乙地匀速行驶，速度为x公里/小时，不得超过C（C为常数）．已知汽车每小时运输成本为可变成本x2与固定成本3600之和．为使全程运输成本y最小，问汽车应以多大速度行驶？
正确答案
解：由题意，函数关系式为
令t=
①C＜60时，函数在（0，C]上单调递减，x=C时，ymin=
②C≥60时，函数在（0，60）上单调递减，在（60，C]上单调递增，∴x=60时，ymin=12000
∴C＜60时，汽车速度为C公里/小时；C≥60时，汽车速度为60公里/小时，全程运输成本y最小．
解析
解：由题意，函数关系式为
令t=
①C＜60时，函数在（0，C]上单调递减，x=C时，ymin=
②C≥60时，函数在（0，60）上单调递减，在（60，C]上单调递增，∴x=60时，ymin=12000
∴C＜60时，汽车速度为C公里/小时；C≥60时，汽车速度为60公里/小时，全程运输成本y最小．
正确答案
500元
解析
解：因为五号仓库有40吨货物，每运10公里的运费是一号仓库的4倍，即等于将一号仓库的10吨货物全部运到五号仓库所要耗费的运费；它也是二号仓库货物运输相同距离时运费的2倍．
所以，把所有的货物集中存放在五号仓库里，需要的运费最少，最少为：y少=10×0.5×10×4+20×0.5×10×3=500（元）；
故答案为：500元．
某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品，根据过去的经验，每月A产品销售数量y（万件）与销售员的数量x（人）之间的函数关系式为：y=
（1）若要求在该月A产品的销售量大于10万件，销售员的数量应在什么范围内？
（2）在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？（精确到0.1万件）
正确答案
解：（1）由条件可知
整理得：x2-89x+1600＜0．即（x-25）（x-64）＜0，
解得25＜x＜64．
该月月饼的销售量不少于10万件，则销售员的数量应在（25，64）．
（2）依题意y=
∵x+
∴ymax=
∴当x=40时，销售的数量最大，最大销售量为11.1万件．
解析
解：（1）由条件可知
整理得：x2-89x+1600＜0．即（x-25）（x-64）＜0，
解得25＜x＜64．
该月月饼的销售量不少于10万件，则销售员的数量应在（25，64）．
（2）依题意y=
∵x+
∴ymax=
∴当x=40时，销售的数量最大，最大销售量为11.1万件．
某新产品成本价P元，由于不断进行技术革新，每年成本降低5%，则x年后该产品的成本价为______元．
正确答案
P•0.95x
解析
解：∵产品成本价为P元，成本平均每年降低5%，
∴经过x年后该产品的成本价为P•（1-5%）x=P•0.95x
故答案为：P•0.95x．
已知某种商品每日的销售量y（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨，1＜x≤5）满足：当1＜x≤3时，y=a（x-4）2+
（1）求a，k的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该商品的销售成本为1万元/吨，试确定销售价格x的值，使得每日销售该商品所获利润最大．
正确答案
解：（1）因为x=3时，y=4；所以a+3=4，得a=1…（1分）
当3＜x≤5时，y=kx+7（k＜0）在区间（3，5]单调递减，当x=5时，ymin=5k+7
因为销售价格x∈（3，5]变化时，销售量最低为2吨，所以5k+7=2，得k=-1…（4分）
故y=
（2）由（1）知，当1＜x≤3时，
每日销售利润
f‘（x）=3x2-18x+24． …（7分）
令 f'（x）=3x2-18x+24＞0，解得x＞4或x＜2
所以f（x）在[1，2]单调递增，在[2，3]单调递减 …（8分）
所以当x=2，f（x）max=f（2）=10，…（9分）
当3＜x≤5时，每日销售利润f（x）=（-x+7）（x-1）=-x2+8x-7=-（x-4）2+9…（10分）
f（x）在x=4时有最大值，且f（x）max=f（4）=9＜f（2）…（11分）
综上，销售价格x=2万元/吨时，每日销售该商品所获利润最大． …（12分）
解析
解：（1）因为x=3时，y=4；所以a+3=4，得a=1…（1分）
当3＜x≤5时，y=kx+7（k＜0）在区间（3，5]单调递减，当x=5时，ymin=5k+7
因为销售价格x∈（3，5]变化时，销售量最低为2吨，所以5k+7=2，得k=-1…（4分）
故y=
（2）由（1）知，当1＜x≤3时，
每日销售利润
f‘（x）=3x2-18x+24． …（7分）
令 f'（x）=3x2-18x+24＞0，解得x＞4或x＜2
所以f（x）在[1，2]单调递增，在[2，3]单调递减 …（8分）
所以当x=2，f（x）max=f（2）=10，…（9分）
当3＜x≤5时，每日销售利润f（x）=（-x+7）（x-1）=-x2+8x-7=-（x-4）2+9…（10分）
f（x）在x=4时有最大值，且f（x）max=f（4）=9＜f（2）…（11分）
综上，销售价格x=2万元/吨时，每日销售该商品所获利润最大． …（12分）
（1）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长和宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢丝网总长度最小？
（2）若现有36m长钢丝网，则每间虎笼的长和宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
正确答案
解：（1）设每间虎笼长为x米，宽为 y米，每间虎笼的面积为S，则由条件知S=xy=24．
设钢筋网总长为l，则l=4x+5y
当且仅当4x=5y，即x=
故每间虎笼长
（2）设每间虎笼长为x米，宽为 y米，则由条件知4x+5y=36，设每间虎笼的面积为S，则S=xy．
根据4x+5y=36
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3.6 m时，可使面积最大．
解析
解：（1）设每间虎笼长为x米，宽为 y米，每间虎笼的面积为S，则由条件知S=xy=24．
设钢筋网总长为l，则l=4x+5y
当且仅当4x=5y，即x=
故每间虎笼长
（2）设每间虎笼长为x米，宽为 y米，则由条件知4x+5y=36，设每间虎笼的面积为S，则S=xy．
根据4x+5y=36
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3.6 m时，可使面积最大．
某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p=
（1）试确定k、b的值；
（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q=2-x．p=q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．
正确答案
解：（1）由已知可得：
∴
解得：b=5，k=1
（2）当p=q时，2（1-t）（x-5）2=2-x
∴（1-t）（x-5）2=-x⇒t=1+
而f（x）=x+
此时t=1+
故当x=4时，关税税率的最大值为500%
解析
解：（1）由已知可得：
∴
解得：b=5，k=1
（2）当p=q时，2（1-t）（x-5）2=2-x
∴（1-t）（x-5）2=-x⇒t=1+
而f（x）=x+
此时t=1+
故当x=4时，关税税率的最大值为500%
（2015秋•泸州期末）某小型贸易公司为了实现年终10万元利润目标，特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案，当销售利润为x万元（4≤x≤10）时，奖金y万元随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的
Ay=0.4x
By=lgx+1
Cy=x
Dy=1.125x
正确答案
解析
解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[4，10]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过2；③y≤
A中，函数y=0.4x，易知满足①，但当x＞5时，y＞2不满足公司要求；
B中，函数y=lgx+1，易知满足①，当x=10时，y取最大值2，故满足公司要求；
C中，函数y=
D中，函数y=1.125x，易知满足①，但当x＞
故选：B．
有甲、乙两城，甲城位于一直线河岸，乙城离岸40km，乙城到河岸的垂足B与甲城相距50km，两城要在此河边合舍一个水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和我700元，则水厂甲城的距离为______千米，才能使水管费用最省？
正确答案
50-
解析
解：设甲在A处，乙在D处，供水站C，总的水管费用为y元，CB=x，BD=40，AC=50-x，
∴DC=
依题意有：y=500（50-x）+700
得y′=-500+
令y′=0，解得x=
y在（0，
函数在x=
故答案为：50-
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