- 基本初等函数（1）
- 共14786题
（1）求y关于θ的函数表达式及θ的取值范围；
（2）当BE多长时，所用灯带总长最短？
正确答案
解：（1）过C点作CM⊥BE，垂足为E．
在Rt△CME与Rt△CFD中，
CE=
∴y=CE+CF+BF+BE=
=
=
在△CEM中，
∴
（2）设sinθ+cosθ=t=
∵
∴
∴t2=1+2sinθcosθ，
∴sinθcosθ=
∴y=
∵
∴
当t=
∴BE=16
解析
解：（1）过C点作CM⊥BE，垂足为E．
在Rt△CME与Rt△CFD中，
CE=
∴y=CE+CF+BF+BE=
=
=
在△CEM中，
∴
（2）设sinθ+cosθ=t=
∵
∴
∴t2=1+2sinθcosθ，
∴sinθcosθ=
∴y=
∵
∴
当t=
∴BE=16
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，
G（x）=
正确答案
解析
解：由题意，每千件商品售价为50万元；
设该厂生产了x千件商品并全部售完，则所获得的利润为y万元；
则当x＜80时，
y=50x-（
=-
则当x=60时，ymax=950万元；
当x≥80时，
y=50x-（51x+
=-（x+
≤1000；
（当且仅当x=100时，等号成立）；
故该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是1000万元；
故选C．
在淘宝网上，某店铺专卖孝感某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤5）满足：当1＜x≤3时，y=a（x-3）2+
（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大（x精确到0.1元/千克）．
正确答案
解：（1）由题意：
x=2时y=600，∴a+b=600，
又∵x=3时y=150，∴b=300．
∴
（2）由题意：
当1＜x≤3时，
f（x）=300（x-3）2（x-1）+300=300（x3-7x2+15x-8），
f‘（x）=300（3x2-14x+15）=（3x-5）（x-3），
∴
当3＜x≤5时，
f（x）=（-70x+490）（x-1），
∴x=4时有最大值630．
∵630＜
∴当
即当销售价格为1.7元的值，使店铺所获利润最大．
解析
解：（1）由题意：
x=2时y=600，∴a+b=600，
又∵x=3时y=150，∴b=300．
∴
（2）由题意：
当1＜x≤3时，
f（x）=300（x-3）2（x-1）+300=300（x3-7x2+15x-8），
f‘（x）=300（3x2-14x+15）=（3x-5）（x-3），
∴
当3＜x≤5时，
f（x）=（-70x+490）（x-1），
∴x=4时有最大值630．
∵630＜
∴当
即当销售价格为1.7元的值，使店铺所获利润最大．
某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成（注：x成即定价为原来的（1+
（1）若y=ax，其中a是满足
（2）若y=
正确答案
解：（1）该商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是
p（1+
因而有：npz=p（1+
∴z=
z=
∵
∴10-ax＞0
∴（10a+ax）（10-ax）≤
当且仅当10a+ax=10-ax，即x=
即要使的销售金额最大，只要z值最大，这时应有x=
（2）由z=
得0＜x＜5
即使售货金额比原来有所增加的x的取值范围事（0，5）…（12分）
解析
解：（1）该商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是
p（1+
因而有：npz=p（1+
∴z=
z=
∵
∴10-ax＞0
∴（10a+ax）（10-ax）≤
当且仅当10a+ax=10-ax，即x=
即要使的销售金额最大，只要z值最大，这时应有x=
（2）由z=
得0＜x＜5
即使售货金额比原来有所增加的x的取值范围事（0，5）…（12分）
为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增b人．假设每个窗口的售票速度为c人/分钟，且当开放两个窗口时，25分钟后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放三个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．
（1）若要求售票10分钟后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？
（2）若a=60，在只开一个窗口的情况下，试求第n（n∈N*且n≤118）个购票者的等待时间tn关于n的函数，并求出第几个购票者的等待时间最长？
（注：购票者的等待时间指从开即始排队（售票开始前到达的人，从售票开始计时）到开始购票时止）
正确答案
解：（1）设需同时开x个窗口，
则根据题意有，
由（1）（2）得，c=2b，a=7b代入（3）得，75b+10b≤20bx，∴x≥4.25，
即至少同时开5个窗口才能满足要求．
（2）由a=60得，b=0.8，c=1.6，设第n个人的等待时间为tn，则由题意有，
当n≤60（n∈N*）时，
当60＜n≤118（n∈N*）时，设第n个人是售票开始后第t分钟来排队的，
则n=60+0.8t，此时已有1.6t人购到票离开队伍，即实际排队的人数为n-1.6t，
∴
综上，tn关于n的函数为
∵当n≤60时，
当60＜n≤118时，
∴第60个购票者的等待时间最长．
解析
解：（1）设需同时开x个窗口，
则根据题意有，
由（1）（2）得，c=2b，a=7b代入（3）得，75b+10b≤20bx，∴x≥4.25，
即至少同时开5个窗口才能满足要求．
（2）由a=60得，b=0.8，c=1.6，设第n个人的等待时间为tn，则由题意有，
当n≤60（n∈N*）时，
当60＜n≤118（n∈N*）时，设第n个人是售票开始后第t分钟来排队的，
则n=60+0.8t，此时已有1.6t人购到票离开队伍，即实际排队的人数为n-1.6t，
∴
综上，tn关于n的函数为
∵当n≤60时，
当60＜n≤118时，
∴第60个购票者的等待时间最长．
有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？
正确答案
解：设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1=a（1+20%）5（1+10%）5=a（1.2×1.1）5≈4a．
乙方案在10年后树木产量为y2=2a（1+20%）5=2a•1.25≈4.98a．
∴y1-y2=4a-4.98a＜0，
因此，乙方案能获得更多的木材（不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算）．
解析
解：设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1=a（1+20%）5（1+10%）5=a（1.2×1.1）5≈4a．
乙方案在10年后树木产量为y2=2a（1+20%）5=2a•1.25≈4.98a．
∴y1-y2=4a-4.98a＜0，
因此，乙方案能获得更多的木材（不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算）．
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元．于是，该顾客获得的优惠额为：400×0.2+28=108元．设购买商品得到的优惠率=
试问：
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）当商品的标价为[100，600]元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式．
正确答案
解：（1）由题意，标价为1000元的商品消费金额为1000×0.8=800元，
故优惠额为1000×0.2+88=288元，则优惠率为
（2）由题意，当消费金额为188元时，其标价为235元，优惠率为0.2；
当消费金额为388元时，其标价为485元，优惠率为
当消费金额为588元时，其标价为735元，优惠率为
由此可得，当商品的标价为[100，600]元时，顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式为y=
解析
解：（1）由题意，标价为1000元的商品消费金额为1000×0.8=800元，
故优惠额为1000×0.2+88=288元，则优惠率为
（2）由题意，当消费金额为188元时，其标价为235元，优惠率为0.2；
当消费金额为388元时，其标价为485元，优惠率为
当消费金额为588元时，其标价为735元，优惠率为
由此可得，当商品的标价为[100，600]元时，顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式为y=
如图，利用一面墙（墙长18m），用30m长的篱笆，怎样围成一个面积为100m2的矩形场地？
正确答案
解析
解：设矩形场地的长为xm，
由题意列方程得 
整理得x2-30x+200=0，
解得：x1=20，x2=10．
又∵墙面长为18m，
∴x=20不符合题意，应舍去．
∴x=10．
答：用10m篱笆为长，10m篱笆为宽围成矩形场地．
．如图，直角梯形OABC位于直线x=t（0≤t≤5）
右侧的图形的面积为f（t），试求函数f（t）的解析式．
正确答案
解：设直线x=t与梯形的交点为D，E，
当0≤t≤2时，分析易得∠COA=45°，则△ODE为的等腰直角三角形，
此时
当2＜t≤5时，f（t）=S矩形DECB=2（5-t）=10-2t，…（10分）
所以
解析
解：设直线x=t与梯形的交点为D，E，
当0≤t≤2时，分析易得∠COA=45°，则△ODE为的等腰直角三角形，
此时
当2＜t≤5时，f（t）=S矩形DECB=2（5-t）=10-2t，…（10分）
所以
（1）将铁丝围成的面积y表示为圆的半径x的函数，并写出其定义域．
（2）求面积最大时，圆的半径x大小．
正确答案
解：（1）由题意可得底宽2x米，半圆弧长为πx，
再设矩形的高为t米，可得：y=2xt+
∴t=
可得周长为：m=2t+2x+πx=
由t＞0得0＜x＜
即有y=-（2+
（2）由y=-（2+
=-（2+
当x=
即有半径x=
解析
解：（1）由题意可得底宽2x米，半圆弧长为πx，
再设矩形的高为t米，可得：y=2xt+
∴t=
可得周长为：m=2t+2x+πx=
由t＞0得0＜x＜
即有y=-（2+
（2）由y=-（2+
=-（2+
当x=
即有半径x=
某厂家2008年拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量m万件（即该厂的年产量）与促销费用x万元（x≥0）满足
（Ⅰ）试将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
（利润=销售额-成本-促销费用）
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，得：利润函数y=（1.5-1）C-x=0.5（16m+8）-x
=8m+4-x=8
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
当且仅当
所以，厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的最大利润为21万元．
解析
解：（Ⅰ）依题意，得：利润函数y=（1.5-1）C-x=0.5（16m+8）-x
=8m+4-x=8
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
当且仅当
所以，厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的最大利润为21万元．
某校高一学生参加社会实践活动，调查某种产品的生产和销售情况时发现：该产品的出厂价格在6元基础上按月份随正弦曲线波动，已知在一个周期内3月份出厂价最高为8元，7月份出厂价最低为4元，而该商品在商店内的销售价格是在8元基础山按月份随正弦曲线波动的，并已知在一个周期内5月份出厂价最高为10元，9月份销售价最低为6元．学校超市每月进这种商品m件，并且当月售完．请你根据以上调查情况估计超市哪个月份盈利最大？并说明理由．
正确答案
解：设出厂价波动函数为y1=6+Asin（ω1x+φ1）
根据最高价格和最低价格可知A=2，T1=8，ω1=
∴y1=6+2sin（
设销售价波动函数为y2=8+Bsin（ω2x+φ2）
易知B=2，T2=8，ω2=
∴y2=8+2sin（
每件盈利 y=y2-y1=[8+2sin（
当sin
当k=1，即x=6时，y最大
∴估计6月份盈利最大．
解析
解：设出厂价波动函数为y1=6+Asin（ω1x+φ1）
根据最高价格和最低价格可知A=2，T1=8，ω1=
∴y1=6+2sin（
设销售价波动函数为y2=8+Bsin（ω2x+φ2）
易知B=2，T2=8，ω2=
∴y2=8+2sin（
每件盈利 y=y2-y1=[8+2sin（
当sin
当k=1，即x=6时，y最大
∴估计6月份盈利最大．
设某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元（a为正常数），现在决定从中分流x万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%（0＜x＜100）．而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值0.8a万元．
（1）若要保证第二产业的产值不减少，求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，问分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？
正确答案
解：（1）由题意，得
=
（2）该市第二、三产业的总产值增加f（x）（0＜x≤50），则
f（x）=（100-x）（1+2x%）a-100a+0.8ax=
∴x=45时，f（x）max=40.5a…（10分）
即应分流出45万人才能使该市第二、三企业的总产值增加最多．…（13分）
解析
解：（1）由题意，得
=
（2）该市第二、三产业的总产值增加f（x）（0＜x≤50），则
f（x）=（100-x）（1+2x%）a-100a+0.8ax=
∴x=45时，f（x）max=40.5a…（10分）
即应分流出45万人才能使该市第二、三企业的总产值增加最多．…（13分）
一半径为r的扇形的周长为20cm，面积为S=f（r）．
（1）求S=f（r）的解析式；
（2）求S=f（r）的最大值．
正确答案
解：（1）设扇的中心角为θ，则2r+θr=20，∴
扇形的面积
又由
∴S=f（r）=10r-r2（0＜r＜10）；
（2）由（1）得S=f（r）=-（r-5）2+25，
∴当r=5时，S=f（r）的最大值为25．
解析
解：（1）设扇的中心角为θ，则2r+θr=20，∴
扇形的面积
又由
∴S=f（r）=10r-r2（0＜r＜10）；
（2）由（1）得S=f（r）=-（r-5）2+25，
∴当r=5时，S=f（r）的最大值为25．
某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低（ ）元．
正确答案
解析
解：设每件降价0.1x元，则每件获利（4-0.1x）元，每天卖出商品件数为（1000+100x）．
经济效益：y=（4-0.1x）（1000+100x）
=-10x2+300x+4 000
=-10（x2-30x+225-225）+4000
=-10（x-15）2+6 250．
∴x=15时，ymax=6 250．
即每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．
故选D．
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