- 基本初等函数（1）
- 共14786题
司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过______小时，才能开车？（精确到1小时）
正确答案
5
解析
解：设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，
则有0.3•（
令x=1、2、3、4，可得（
当x=5时，（
则可得5小时后，可以开车．
故答案为：5．
已知甲、乙两地相距为s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度每小时不得超过70千米．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：固定部分为a元，可变部分与速度v（单位km╱h）的平方成正比，且比例系数为m．
（1）求汽车全程的运输成本y（以元为单位）关于速度v（单位km╱h）的函数解析式；
（2）为了全程的运输成本最小，汽车应该以多大的速度行驶？
正确答案
解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
全程运输成本为y=
（2）依题意，y=
∴
解析
解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
全程运输成本为y=
（2）依题意，y=
∴
（2010秋•寿光市校级月考）某企业拟在2011年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件．已知2011年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．
（1）将2011年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2011年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？
（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）
正确答案
解：（1）由题意：3-x=
当年生产x（万件）时，年生产成本=32x+3=32（3-
当销售x（万件）时，年销售收入=150%[32（3-
由题意，生产x万件产品正好销完
∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费即y=
（2）∵y=50-（
当且仅当
解析
解：（1）由题意：3-x=
当年生产x（万件）时，年生产成本=32x+3=32（3-
当销售x（万件）时，年销售收入=150%[32（3-
由题意，生产x万件产品正好销完
∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费即y=
（2）∵y=50-（
当且仅当
某厂以x千克/小时的速度匀速生产一种产品（生产条件要求1≤x≤5），每小时可获得的利润是100（8x+1-
（1）要使生产该产品每小时获得的利润不低于1600元，求x的取值范围；
（2）要使生产1000千克该产品获得的利润最大，问该厂应怎样选取生产速度？并求此最大利润．
正确答案
解：（1）根据题意，100（8x+1-
∴x≥2或x≤-
∵1≤x≤5，∴2≤x≤5，
即x的取值范围是2≤x≤5；
（2）设生产1000千克该产品获得的利润为y元，则
y=100（8x+1-
=100000[-3（
∵1≤x≤5，
∴x=4时，取得最大利润为812500元，
故该厂应以4千克/小时的速度生产，可获得最大利润为812500元．
解析
解：（1）根据题意，100（8x+1-
∴x≥2或x≤-
∵1≤x≤5，∴2≤x≤5，
即x的取值范围是2≤x≤5；
（2）设生产1000千克该产品获得的利润为y元，则
y=100（8x+1-
=100000[-3（
∵1≤x≤5，
∴x=4时，取得最大利润为812500元，
故该厂应以4千克/小时的速度生产，可获得最大利润为812500元．
建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元．
（Ⅰ）写出建造水池的总造价y元关于底的一边长x米的函数解析式y=f（x），并求定义域．
（Ⅱ）当底边长为多少米时总造价最低？最低总造价为多少元？
正确答案
解：（1）∵无盖长方体的深为2m，底面一边长xm，容积为8m3，
∴另一边长为
∴S侧=（2x+2×
∵池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2，
∴总造价y=80×（4x+
（2）∵y=320（x+
故该长方体的水池长、宽、高均相等，为2m时总造价最低，最低总造价为1760元．
解析
解：（1）∵无盖长方体的深为2m，底面一边长xm，容积为8m3，
∴另一边长为
∴S侧=（2x+2×
∵池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2，
∴总造价y=80×（4x+
（2）∵y=320（x+
故该长方体的水池长、宽、高均相等，为2m时总造价最低，最低总造价为1760元．
某公司为了实现2015年1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y1=0.025x，y2=1.003x，y3=log7x+1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？说明理由．（参考数据：1.003600≈6，74=2401）
正确答案
解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%
（1）y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；…（2分）
（2）y=1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞6不满足公司要求；…（4分）
（3）y3=log7x+1易知满足①，
当x∈[10，1000]时，y3≤log71000+1＜log72401+1＜5，满足②，…（7分）
对于③，设
所以，只有y3=log7x+1满足题意．…（12分）
解析
解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%
（1）y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；…（2分）
（2）y=1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞6不满足公司要求；…（4分）
（3）y3=log7x+1易知满足①，
当x∈[10，1000]时，y3≤log71000+1＜log72401+1＜5，满足②，…（7分）
对于③，设
所以，只有y3=log7x+1满足题意．…（12分）
某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为Q（x）=3000+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=
正确答案
解：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，依题意得
【方法一】因为
当且仅当
因此，当x=20时，f（x）取得最小值5000（元）．
所以，为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元
【方法二】因为
令f′（x）=0（其中x＞0），得x=20；当0＜x＜20时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；当x＞20时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；所以，当且仅当x=20时，f（x）有最小值，为f（20）=5000；即为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元．
解析
解：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，依题意得
【方法一】因为
当且仅当
因此，当x=20时，f（x）取得最小值5000（元）．
所以，为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元
【方法二】因为
令f′（x）=0（其中x＞0），得x=20；当0＜x＜20时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；当x＞20时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；所以，当且仅当x=20时，f（x）有最小值，为f（20）=5000；即为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元．
正确答案
解：设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m．则宽为
∴y=400
≥1 600
当且仅当 x=
答：当污水池长为 18 m，宽为
解析
解：设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m．则宽为
∴y=400
≥1 600
当且仅当 x=
答：当污水池长为 18 m，宽为
某人2008年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2011年1月1日可取回款 ______元．
正确答案
a（1+x）3
解析
解：一年后，可取回款a（1+x），二年后，可取回款a（1+x）2，
三年后，可取回款a（1+x）3，
故答案为：a（1+x）3
有一种新型的奇强洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放k（1≤k≤4，且k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中
（1）若只投放一次k个单位的洗衣液，2分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），求k的值？
（2）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，在第12分
钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？能，请加以证明；不能，请说明理由．
正确答案
解：（1）
当2分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），
可得y=k•f（x）=3，
∵
∴k=1；
（2）因为k=4，
所以
则当0≤x≤4时，
由
解得x≥-4，
所以此时0≤x≤4
当4＜x≤14时，
由28-2x≥4，
解得x≤12，
所以此时4＜x≤12
综合，得0≤x≤12，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟
（3）当x=12时，
∴在第12分钟时还能起到有效去污的作用．
解析
解：（1）
当2分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），
可得y=k•f（x）=3，
∵
∴k=1；
（2）因为k=4，
所以
则当0≤x≤4时，
由
解得x≥-4，
所以此时0≤x≤4
当4＜x≤14时，
由28-2x≥4，
解得x≤12，
所以此时4＜x≤12
综合，得0≤x≤12，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟
（3）当x=12时，
∴在第12分钟时还能起到有效去污的作用．
国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按（p+2）%征税，有一公司的实际缴税比例为（p+0.25）%，则该公司的年收入是（ ）
正确答案
解析
解析：设该公司的年收入为a万元，
则280p%+（a-280）（p+2）%=a（p+0.25）%．
解之得：
a=
故选D．
某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）
正确答案
解：设平均每年增长x%，
则得（1+x%）2=1+21%，x=10．
又
故该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%．
解析
解：设平均每年增长x%，
则得（1+x%）2=1+21%，x=10．
又
故该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%．
集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y （桶）之间满足如图所示关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a 为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）
正确答案
解：（1）设y=kx+b，
∵x=4时，y=400；x=5时，y=320．
∴
∴y与x的函数关系式为y=-80x+720．
（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000（元），
当y=380时，380=-80x+720，得x=4.25，
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780=2395（元），
显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．
（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则
W=xy=x（-80x+720）=
∴当x=
要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，
则50a≥W最大值+780，即50a≥1620+780，解之，得a≥48．
所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，
由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．
解析
解：（1）设y=kx+b，
∵x=4时，y=400；x=5时，y=320．
∴
∴y与x的函数关系式为y=-80x+720．
（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000（元），
当y=380时，380=-80x+720，得x=4.25，
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780=2395（元），
显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．
（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则
W=xy=x（-80x+720）=
∴当x=
要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，
则50a≥W最大值+780，即50a≥1620+780，解之，得a≥48．
所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，
由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．
祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f（n）表示前n年的纯收入（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额）
（Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？
正确答案
解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，
设纯利润与年数的关系为f（n），
则
（I）纯利润就是要求f（n）＞0，∴-2n2+40n-72＞0，
解得2＜n＜18．由n∈N知从第三年开始获利．
（II）①年平均利润=
故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6，
②f（n）=-2（n-10）2+128．当n=10时，f（n）max=128．
故第②种方案共获利128+16=144（万美元），
故比较两种方案，获利都是144万美元．
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①方案．
解析
解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，
设纯利润与年数的关系为f（n），
则
（I）纯利润就是要求f（n）＞0，∴-2n2+40n-72＞0，
解得2＜n＜18．由n∈N知从第三年开始获利．
（II）①年平均利润=
故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6，
②f（n）=-2（n-10）2+128．当n=10时，f（n）max=128．
故第②种方案共获利128+16=144（万美元），
故比较两种方案，获利都是144万美元．
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①方案．
2003年10月15日，我国的“长征”二号F型火箭成功发射了“神州”五号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为
（1）求“长征”二号系列火箭的最大速度y（km/s）与燃料重量x吨之间的函数关系式y=f（x）；
（2）已知“长征”二号F型火箭的起飞重量是479.8吨，则应装载多少吨燃料（精确到0.1吨，取e=2.718）才能使火箭的最大飞行速度达到8（km/s），顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？
正确答案
解：（1）由题意，
则k=8，…（4分）
所以
（2）由已知M=m+x=479.8，则m=479.8-x，又y=8，
代入上式得，
x=303.3…（3分）
答：应装载303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8（km/s）．…（1分）
解析
解：（1）由题意，
则k=8，…（4分）
所以
（2）由已知M=m+x=479.8，则m=479.8-x，又y=8，
代入上式得，
x=303.3…（3分）
答：应装载303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8（km/s）．…（1分）
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