- 基本初等函数（1）
- 共14786题
一批物资随17辆货车从甲地以v km/h（100≤v≤120）的速度匀速运达乙地．已知甲、乙两地间相距600km，为保证安全，要求两辆货车的间距不得小于（
A4
B9.8小时
C10小时
D10.5小时
正确答案
解析
解：设这批物资全部运到B市用的时间为y小时，
因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×（
则y=
∴v=120千米/小时，时间ymin=9.8小时，
故选：B．
某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的 
正确答案
解：设新品种花生亩产量的增长率为x，
根据题意得200（1+x）•50%（1+
解得x1=0.2=20%，x2=-3.2（不合题意，舍去），
答：新品种花生亩产量的增长率为20%．
故答案为：20%．
解析
解：设新品种花生亩产量的增长率为x，
根据题意得200（1+x）•50%（1+
解得x1=0.2=20%，x2=-3.2（不合题意，舍去），
答：新品种花生亩产量的增长率为20%．
故答案为：20%．
某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2008年北京奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足关系式：x=3-
正确答案
解：当年生产x（万件）时，年生产成本=年生产费用+年固定费用=32x+3=32（3-
年销售收入=150%[32（3-
∵年利润=销售收入-生产成本-促销费，
∴y=150%[32（3-）+3]+-[32（3-）+3]-t=
当且仅当
∴当促销费定在7万元时，利润最大．
解析
解：当年生产x（万件）时，年生产成本=年生产费用+年固定费用=32x+3=32（3-
年销售收入=150%[32（3-
∵年利润=销售收入-生产成本-促销费，
∴y=150%[32（3-）+3]+-[32（3-）+3]-t=
当且仅当
∴当促销费定在7万元时，利润最大．
某地方政府为地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府征收附加税率为t元时，则每年减少
（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；
（2）在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？
正确答案
解：（1）设每年国内销量为x万件，
则销售收入为每年250x万元，征收附加税金为y=250x•t%，这里x=
则所求函数关系为y=250×（
（2）依题意，250×（
解得10≤t≤15．
即税率应控制在10%到15%之间．
解析
解：（1）设每年国内销量为x万件，
则销售收入为每年250x万元，征收附加税金为y=250x•t%，这里x=
则所求函数关系为y=250×（
（2）依题意，250×（
解得10≤t≤15．
即税率应控制在10%到15%之间．
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似表示为：
（1）若月处理成本y不超过105000元，求月处理量x的范围；
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
正确答案
解：（1）∵月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似表示为
∴月处理成本y不超过105000元，即
（ 2）由题意，每月获利为100x元
∴设利润f（x）=100x-（
∴函数在[400，600]上单调减
∴x=400时，f（x）最大值=f（400）=-40000
∴该厂不获利，国家每月至少需要补贴40000元．
解析
解：（1）∵月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似表示为
∴月处理成本y不超过105000元，即
（ 2）由题意，每月获利为100x元
∴设利润f（x）=100x-（
∴函数在[400，600]上单调减
∴x=400时，f（x）最大值=f（400）=-40000
∴该厂不获利，国家每月至少需要补贴40000元．
建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元．
（1）把总造价y（元）表示为底面一边长x（米）的函数，并写出x的定义域；
（2）当x何值时，使总造价最低．
正确答案
解：（1）长方体蓄水池的容积为8立方米，深为2米，因此其底面积为4平方米；
设底面一边长为x米，则另一边长为
因池壁的造价为每平方米100元，池壁的面积为2（2x+2•
池底的造价为每平方米300元，池底的面积为4平方米，池底的总造价为1200元；
所以，蓄水池的总造价为：y=100•2（2x+2•
（2）由函数y=400（x+
解析
解：（1）长方体蓄水池的容积为8立方米，深为2米，因此其底面积为4平方米；
设底面一边长为x米，则另一边长为
因池壁的造价为每平方米100元，池壁的面积为2（2x+2•
池底的造价为每平方米300元，池底的面积为4平方米，池底的总造价为1200元；
所以，蓄水池的总造价为：y=100•2（2x+2•
（2）由函数y=400（x+
某公司生产一种商品的固定成本为200元，每生产一件商品需增加投入10元，已知总收益满足函数：g（x）=
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）（总收益=总成本+利润）；
（2）当月产量为何值时公司所获利润最大？最大利润为多少元？
正确答案
解：（1）由于月产量为x件，则总成本为200+10x，
从而利润f（x）=
即有f（x）=
（2）当0≤x≤40时，f（x）=-
所以当x=30时，有最大值250；
当x＞40时，f（x）=600-10x是减函数，
所以f（x）=600-10×40=200＜250．
所以当x=30时，有最大值250，
即当月产量为30件时，公司所获利润最大，最大利润是250元．
解析
解：（1）由于月产量为x件，则总成本为200+10x，
从而利润f（x）=
即有f（x）=
（2）当0≤x≤40时，f（x）=-
所以当x=30时，有最大值250；
当x＞40时，f（x）=600-10x是减函数，
所以f（x）=600-10×40=200＜250．
所以当x=30时，有最大值250，
即当月产量为30件时，公司所获利润最大，最大利润是250元．
某青年企业家准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建．据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元/天•间（没住宿的不支出）．问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？
正确答案
解：设每天的房价为60+5x元，
则有x个房间空闲，已住宿了30-x个房间．
∴度假村的利润y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30．
∴y=（30-x）•5•（8+x）
=5（240+22x-x2）
=-5（x-11）2+1805．
因此，当x=11时，y取得最大值1805元，
即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大．
解析
解：设每天的房价为60+5x元，
则有x个房间空闲，已住宿了30-x个房间．
∴度假村的利润y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30．
∴y=（30-x）•5•（8+x）
=5（240+22x-x2）
=-5（x-11）2+1805．
因此，当x=11时，y取得最大值1805元，
即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大．
《优化方案》系列丛书第三年的销量比第一年的销量增长44%，若每年的平均增长率相同（设为x），则以下结论正确的是（ ）
正确答案
解析
解析：∵每年的平均增长率相同（设为x），
∴一年的销量量为（1+x），
二年的销量量为（1+x）2，
∴（1+x）2=1+44%，
解得x=0.2＜0.22．
故选B．
某公司2007年底共有员工200人，当年的生产总值为1600万元．该企业规划从2008年起的10年内每年的总产值比上一年增加100万元；同时为扩大企业规模，该企业平均每年将录取m（m＞5）名新员工；经测算，这10年内平均每年有5名员工退休．设从2008年起的第x年（2008年为第1年）该企业的人均产值为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式y=f（x）；
（2）要使该企业的人均产值在10年内每年都有增长，则每年录用的新员工至多为多少人？
正确答案
解：（1）从2008年起的第x年的总产值为1600+100x，共有员工[200+（m-5）x]人，由题意得，
（2）当函数f（x）为增函数时，该企业的人均产值在10年内每年都有增长．
所以当1≤x1＜x2≤10时，f（x2）-f（x1）=
解得m＜17.5，因此每年至多招收新员工不超过17人．
解析
解：（1）从2008年起的第x年的总产值为1600+100x，共有员工[200+（m-5）x]人，由题意得，
（2）当函数f（x）为增函数时，该企业的人均产值在10年内每年都有增长．
所以当1≤x1＜x2≤10时，f（x2）-f（x1）=
解得m＜17.5，因此每年至多招收新员工不超过17人．
正确答案
又设占地面积为ym2，（1分）
依题意，得
当且仅当
答：游泳池的长为28m，宽为14m时，占地面积最小为648m2（10分）
解析
又设占地面积为ym2，（1分）
依题意，得
当且仅当
答：游泳池的长为28m，宽为14m时，占地面积最小为648m2（10分）
上海是我国最早跨入老年社会的城市，而且人口老龄化速度非常快．据统计资料显示：浦东新区1995年末老年人口有17.41万人，到2005年末老年人口达34.82万人，设老年人口的年平均增长率为a，从1995年末起经过x年的老年人口数为f（x）．（即f（0）表示1995年末的老年人口数、f（1）表示1996年末的老年人口数）
（1）求年平均增长率a的值；并写出函数f（x）的解析式；
（2）预算浦东新区到2010年末老年人口数．（精确到0.01万人）
正确答案
解：（1）依题意得17.41•（1+a）10=34.82
所以f（x）=17.41•（1+a）x即函数
（2）由
所以浦东新区到2010年末老年人口数约49.24万人．…（8分）
解析
解：（1）依题意得17.41•（1+a）10=34.82
所以f（x）=17.41•（1+a）x即函数
（2）由
所以浦东新区到2010年末老年人口数约49.24万人．…（8分）
经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千/小时）之间有函数关系：
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆）；
（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
正确答案
解：（1）函数可化为
当且仅当v=40时，取“=”，即
（2）要使该时段内车流量至少为10千辆/小时，即使
即v2-89v+1600≤0⇒v∈[25，64]
解析
解：（1）函数可化为
当且仅当v=40时，取“=”，即
（2）要使该时段内车流量至少为10千辆/小时，即使
即v2-89v+1600≤0⇒v∈[25，64]
正确答案
解：设每间虎笼的长、宽各设计为xm，ym时，可使每间虎笼的面积最大，
则4x+6y=36，S=xy；
∵4x+6y=36，∴2x+3y=18，
由基本不等式，得18≥2
∴xy≤
当且仅当2x=3y=9，即x=4.5m，y=3m时，S取得最大值
即每间虎笼的长、宽各设计为4.5m，3m时，可使每间虎笼的面积最大；
且最大值为
解析
解：设每间虎笼的长、宽各设计为xm，ym时，可使每间虎笼的面积最大，
则4x+6y=36，S=xy；
∵4x+6y=36，∴2x+3y=18，
由基本不等式，得18≥2
∴xy≤
当且仅当2x=3y=9，即x=4.5m，y=3m时，S取得最大值
即每间虎笼的长、宽各设计为4.5m，3m时，可使每间虎笼的面积最大；
且最大值为
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
正确答案
解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而利润f（x）=
（2）当0≤x≤400时，f（x）=-
所以当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f（x）=66000-100x是减函数，
所以f（x）=66000-100×400=26000＞25000．
所以当x=400时，有最大值26000，
即当月产量为400台时，公司所获利润最大，最大利润是26000元．
解析
解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而利润f（x）=
（2）当0≤x≤400时，f（x）=-
所以当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f（x）=66000-100x是减函数，
所以f（x）=66000-100×400=26000＞25000．
所以当x=400时，有最大值26000，
即当月产量为400台时，公司所获利润最大，最大利润是26000元．
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