- 双曲线的几何性质
- 共199题
已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.
(1)求an;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
正确答案
(1) an=2n. ;(2) (n-1)2n+1+2.
解析
(1)由Sn=kcn-k,
得an=Sn-Sn-1=kcn-kcn-1(n≥2),
由a2=4,a6=8a3,得kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2(c-1),
解得所以a1=S1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n≥2),
于是an=2n.
(2),即
Tn=2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n,
Tn=2Tn-Tn=-2-22-23-24-…-2n+n·2n+1=-2n+1+2+n·2n+1=(n-1)2n+1+2.
知识点
设各项均为正数的数列的前
项和为
,满足
且
构成等比数列。
(1)证明:;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:对一切正整数,有
。
正确答案
见解析
解析
(1)当时,
,
(2)当时,
,
,
当
时,
是公差
的等差数列。
构成等比数列,
,
,解得
,
由(1)可知,
是首项
,公差
的等差数列。
数列
的通项公式为
.
(3)
知识点
双曲线的顶点到其渐近线的距离等于( )
正确答案
解析
本题考查的是双曲线的性质,因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为,取一条渐近线为
,所以点
到直线
的距离为
。
知识点
设直线与双曲线
的两条渐近线分别交于点A、B,若点
满足
,则该双曲线的离心率是______________。
正确答案
解析
由双曲线的方程数知,其渐近线方程为与
,分别与直线
联立方程组,解得
,
,由
,设
的中点为
,因为
与直线
垂直,所以
,所以
. 点评:本题考查双曲线的性质、渐近线与离心率,中等题
知识点
设O为坐标原点,,
是双曲线
(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足∠
P
=60°,∣OP∣=
,则该双曲线的渐近线方程为
正确答案
解析
选D,本题将解析几何与三角知识相结合,主要考察了双曲线的定义、标准方程,几何图形、几何性质、渐近线方程,以及斜三角形的解法,属中档题
知识点
的展开式中
的系数是
正确答案
240
解析
由二项式定里,展开式单项为,
代入,得
的系数
.
知识点
设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1,F2,若曲线I上存在点P满足:
:
=4:3:2,则曲线I的离心率等于
正确答案
解析
当曲线为椭圆时;
当曲线为双曲线时
知识点
已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为__________。
正确答案
解析
设|PF1|=m,|PF2|=n,根据双曲线的定义及已知条件可得|m-n|=2a=2,m2+n2=4c2=8,
故mn=2,(|PF1|+|PF2|)2=(m+n)2=(m-n)2+4mn=4+4×2=12,于是|PF1|+|PF2|=
知识点
如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )。
正确答案
解析
椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=2a=4,|F1F2|=2c=.又四边形AF1BF2为矩形,∴∠F1AF2=90°,∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,∴|AF1|=
,|AF2|=
,∴双曲线C2中,2c=
,2a=|AF2|-|AF1|=
,故
,故选D
知识点
已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为
,则C的渐近线方程为( )。
正确答案
解析
∵,∴
,即
.
∵c2=a2+b2,∴.∴
.
∵双曲线的渐近线方程为,
∴渐近线方程为.故选C.
知识点
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