- 定义法求轨迹方程
- 共148题
由曲线和直线围成的封闭图形的面积为_______。
正确答案
解析
由,得或,则曲线与直线围成的图形的面积。
知识点
已知:曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等。
(1)求曲线的方程;
(2)过点作直线交曲线于、两点,若长为,求的方程;
(3)设为坐标原点,如果直线交曲线于、两点,是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1) 4分
(2)将,代入,得 8分
记,,, 10分
12分
∴,,
∴以为直径的圆不经过原点,
不存在满足条件的。 14分
知识点
已知F1(-1,0),F2(1,0)为平面内的两个定点,该平面内的动点P满足
|PF1|+|PF2|=2,记点P的轨迹为曲线E。
(1)求曲线E的方程;
(2)设点O为坐标原点,A,B,C是曲线E上的不同三点,且=0,
(i)证明:直线AB与OC的斜率之积为定值;
(i i)当直线AB过点F1时,求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积。
正确答案
见解析。
解析
(1)由条件可知, 点到两定点的距离之和为定值,
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆,又,,所以,故所求方程为。
(2)设,,。
由,得,。
(ⅰ)可设直线的方程为,
代入并整理得,,
依题意,,则 ,,
从而可得点的坐标为,。
因为,所以直线与的斜率之积为定值。
(ⅱ)若轴时,,由,
得点,所以点不在椭圆上,不合题意,因此直线的斜率存在。
由(ⅰ)可知,当直线过点时, 有,点的坐标。
代入得,,即,
所以。
(1)当时,由(ⅰ)知,,从而。
故、及轴所围成三角形为等腰三角形,其底边长为,且底边上的高,所求等腰三角形的面积。
(2)当时,又由(ⅰ)知,,从而,
同理可求直线、与轴所围成的三角形的面积为。
综合(1)(2),直线、与轴所围成的三角形的面积为。
知识点
在直角坐标平面中,已知点与点,点为坐标平面上的一个动点,直线的斜率都存在,且,为一个常数。
(1)求动点的轨迹的方程,并说明轨迹是什么样的曲线。
(2)设、是曲线上关于原点对称的任意两点,点为曲线上异于点、的另一任意点,且直线的斜率都存在. 若,求常数的值。
正确答案
见解析。
解析
(1)设点,则,
由得即
动点的轨迹方程为
①时,轨迹是一个焦点落在轴上且去掉短轴的两个端点的椭圆。
②时,轨迹是一个圆心在坐标原点半径为5且去掉与轴的两个交点的圆。
③当时,轨迹是一个焦点落在轴上且去掉长轴的两个端点的椭圆
④当时,动点的轨迹方程为,轨迹是去掉两个点的一条直线
⑤当时,轨迹是一个焦点落在轴上且去掉实轴的两个端点的双曲线。
(2)设点,则点,设点则
,
由得 ①
②
③
将②③代入①得
知识点
在极坐标系中,已知点为圆上任一点,求点到直线 的距离的最小值与最大值。
正确答案
见解析
解析
圆的普通方程为
直线的普通方程为
设点,
则点到直线的距离,
所以;
知识点
在直角坐标系中,曲线的参数方程是,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,则两曲线交点间的距离是
正确答案
解析
的一般方程为.曲线的直角坐标方程为.由得交点坐标为,它们之间的距离为.
知识点
动圆过点,且与直线相切,圆心的轨迹是曲线.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点的任意一条不过点的直线与曲线交于两点,直线与直线交于点,记直线的斜率分别为,问是否存在实数,使得恒成立?若存在,求出的值,若不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)点到的距离与到直线的距离相等,所以曲线是以为焦点的抛物线.设为,则,故曲线的方程为.…………………4分
(2)设直线的斜率为,则直线的方程为.
由得.
∴.………………6分
设.
由得,.
∴.…………………8分
∴
……………………11分
∴,即.…………………13分
知识点
在极坐标系中, 为曲线上的动点, 为直线上的动点, 求的最小值。
正确答案
见解析
解析
圆的方程可化为,所以圆心为,半径为2
又直线方程可化为
所以圆心到直线的距离,故
知识点
已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
正确答案
解析
设切点的横坐标为(x0,y0)
∵曲线的一条切线的斜率为,
∴y′=﹣=,解得x0=3或x0=﹣2(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为3
知识点
在平面直角坐标系下,曲线(t为参数),曲线(a为参数),若曲线Cl、C2有公共点,则实数a的取值范围 。
正确答案
。
解析
曲线(t为参数)即 x+2y﹣2a=0,表示一条直线。
曲线(a为参数) 即 x2+(y﹣2)2=4,表示圆心为(0,2),半径等于2的圆。
由曲线Cl、C2 有公共点,可得圆心到直线的距离小于或等于半径,∴≤2,∴2﹣≤a≤2+。
知识点
扫码查看完整答案与解析