一元高次不等式的解法
共47题

· 一元高次不等式的解法

一元高次不等式的解法
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，。

（1）设（其中是的导函数），求的最大值；

（2）证明: 当时，求证：；

（3）设,当时,见解析不等式恒成立,求的最大值。

正确答案

见解析

解析

（1）,

所以。

当时，；当时，。

因此，在上单调递增，在上单调递减。

因此，当时，取得最大值；

（2）当时，。

由（1）知：当时，，即。

因此，有。

（3）不等式化为

所以对任意恒成立。

令，则，

所以函数在上单调递增。

因为，

所以方程在上存在唯一实根，且满足。

当，即，当，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增。

所以。

故整数的最大值是。

知识点

一元高次不等式的解法

题型：填空题

填空题 · 5 分

函数的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为 .

正确答案

解析

知识点

一元高次不等式的解法

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知各项均为正数的数列{}满足（），且是的等差中项.

（1）求数列{}的通项公式；

（2）若=，求使S>50成立的正整数n的最小值。

正确答案

（1）（2）5

解析

（1）∵，

∴,

∵数列{}的各项均为正数，∴，

∴，

即（），所以数列{}是以2为公比的等比数列.………………3分

∵是的等差中项，

∴，∴，∴，

∴数列{}的通项公式.……………………………………………………6分

（2）由（1）及=得，， ……………………………8分

∵，

∴ 1

∴ ②

②-1得，

=……………………………10分

要使S>50成立，只需2n+1-2>50成立，即2n+1>52，

∴使S>50成立的正整数n的最小值为5. …………12分

知识点

一元高次不等式的解法

题型：填空题

填空题 · 5 分

由曲线所围成图形的面积是____________.

正确答案

解析

略

知识点

一元高次不等式的解法

题型：简答题

简答题 · 13 分

时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的关系式，其中2＜x＜6，m为常数，已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套。

（1）求m的值；

（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大（保留1位小数）

正确答案

（1）m=10（2）3.3

解析

（1）因为销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套，所以x=4时，y=21，

代入关系式，得，

解得m=10。

（2）由（1）可知，套题每日的销售量，

所以每日销售套题所获得的利润，

从而f'（x）=12x2﹣112x+240=4（3x﹣10）（x﹣6）（2＜x＜6）。

令f'（x）=0，得，且在上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；在上，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

所以是函数f（x）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，

所以当时，函数f（x）取得最大值。

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大。

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