- 不等式的证明
- 共16题
20.已知函数的单调递增区间为,
(1)求证:;
(2)当取最小值时,点是函数图象上的两点,若存在使得,求证:
正确答案
(1)
依题意是方程的两根有:
(2)
取最小值时,,
在上是增函数,,
,从而
即
考虑函数,因,故当时,有,
所以是上是减函数.
由,得
由及得
故,即.
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分。
22.如图,AB是圆O的直径,C是半径OB的中点,D是OB延长线上一点,且BD=OB,直线MD与圆O相交于点M、T,(不与a、b重合),DN与圆O相切于点N,连结MC,MB,OT。
(I)求证:;
(II) 若,试求的大小。
23.已知函数.
(I)解不等式 ;
(II)若,求证:≤.
正确答案
22.(1)证明:因MD与圆O相交于点T,由切割线定
理,,得
,设半径OB=,因BD=OB,且BC=OC=,
则,,
所以
(2)由(1)可知,,且,
故∽,所以;
根据圆周角定理得,,则
23.(1)由题.
因此只须解不等式.
当时,原不式等价于,即.
当时,原不式等价于,即.
当时,原不式等价于,即.
综上,原不等式的解集为.
(2)由题.
当>0时,
.
解析
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知识点
已知x,y,z均为正数,求证:。
正确答案
见解析。
解析
因为x,y,z都是为正数,
所以 ①
同理可得
②
③
当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立。
将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,
得:
知识点
已知均为正数,求证:.
正确答案
见解析
解析
证明:由柯西不等式得
则,即
知识点
设a、b是非负实数,求证:。
正确答案
见解析。
解析
(方法一)证明:
因为实数a、b≥0,
所以上式≥0。即有。
(方法二)证明:由a、b是非负实数,作差得
当时,,从而,得;
当时,,从而,得;
所以。
知识点
将一个正整数表示为的形式,其中,,且,记所有这样的表示法的种数为(如4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1,故).
(1)写出的值,并说明理由;
(2)对任意正整数,比较与的大小,并给出证明;
(3)当正整数时,求证:。
正确答案
见解析
解析
(1)解:因为3=3,3=1+2,3=1+1+1,所以。
因为5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1,
所以。 ……………………………………3分
(2)结论是.
证明如下:由结论知,只需证
因为,把的一个表示法中的去掉,就可得到一个的表示法;反之,在的一个表示法前面添加一个“1+”,就得到一个的表示法,即的表示法中的表示法种数等于的表示法种数,
所以表示的是的表示法中的表示法数,是的表示法中的表示法数。
同样,把一个的的表示法中的加上1, 就可得到一个的的表示法,这样就构造了从的的表示法到的的表示法的一个对应.
所以有……………………………………9分
(3)由第(2)问可知:
当正整数时,.
又 所以.
对于*式,分别取为,将所得等式相加得.
即。 ……………………………………13分
知识点
已知函数
(1)解不等式
(2)若.求证:.
正确答案
见解析
解析
(1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=
当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;
当-3≤x≤1时,f(x)≤8不成立;
当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3. …4分
所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤-5,或x≥3}, …5分
(2)f(ab)>|a|f(),即|ab-1|>|a-b|, …6分
因为|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2
=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)
=(a2-1)(b2-1)>0,
所以|ab-1|>|a-b|,故所证不等式成立, 10分
知识点
已知x>0, y>0,证明:(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.
正确答案
见解析。
解析
因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥,1+x2+y≥,
所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy.
知识点
20.若由数列生成的数列满足对任意的其中,则称数列为“Z数列”。
(I)在数列中,已知,试判断数列是否为“Z数列”;
(II)若数列是“Z数列”,
(III)若数列是“Z数列”,设求证
正确答案
解析
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知识点
19.设函数,曲线在点P(1,0)处的切线斜率为2。
(1)求a,b的值;
(2)证明:。
正确答案
由题设,y=f(x)在点P(1,0)处切线的斜率为2.
∴,解之得
因此实数a,b的值分别为-1和3.
(2)证明 f(x)=x-x2+3ln x(x>0).
设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x,
则g′(x)=-1-2x+=-.
当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0.
∴g(x)在 (0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减.
∴g(x)在x=1处有最大值g(1)=0,
∴f(x)-(2x-2)≤0,即f(x)≤2x-2,得证
解析
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知识点
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