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题型:简答题
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简答题 · 14 分

20.已知函数的单调递增区间为

(1)求证:

(2)当取最小值时,点是函数图象上的两点,若存在使得,求证:

正确答案

(1)

依题意是方程的两根有:

(2)

取最小值时,

上是增函数,

,从而

考虑函数,因,故当时,有

所以上是减函数.

,得

,即

解析

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知识点

函数的单调性及单调区间函数恒成立问题导数的运算不等式的证明
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分。

22.如图,AB是圆O的直径,C是半径OB的中点,D是OB延长线上一点,且BD=OB,直线MD与圆O相交于点M、T,(不与a、b重合),DN与圆O相切于点N,连结MC,MB,OT。

(I)求证:

(II) 若,试求的大小。

23.已知函数

(I)解不等式

(II)若,求证:.

正确答案

22.(1)证明:因MD与圆O相交于点T,由切割线定

,得

,设半径OB=,因BD=OB,且BC=OC=

所以

(2)由(1)可知,,且

,所以

根据圆周角定理得,,则

23.(1)由题.

因此只须解不等式.

时,原不式等价于,即.

时,原不式等价于,即.

时,原不式等价于,即.

综上,原不等式的解集为.

(2)由题.

>0时,

.

解析

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知识点

弦切角与圆有关的比例线段绝对值不等式的解法不等式的证明
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

已知x,y,z均为正数,求证:

正确答案

见解析。

解析

因为x,y,z都是为正数,

所以   ①

同理可得

当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立。

将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,

得:

知识点

不等式的证明
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

已知均为正数,求证:.

正确答案

见解析

解析

证明:由柯西不等式得

,即

知识点

不等式的证明
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

设a、b是非负实数,求证:

正确答案

见解析。

解析

(方法一)证明:

因为实数a、b≥0,

所以上式≥0。即有

(方法二)证明:由a、b是非负实数,作差得

时,,从而,得

时,,从而,得

所以

知识点

不等式的证明比较法
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

将一个正整数表示为的形式,其中,且,记所有这样的表示法的种数为(如4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1,故).

(1)写出的值,并说明理由;

(2)对任意正整数,比较的大小,并给出证明;

(3)当正整数时,求证:

正确答案

见解析

解析

(1)解:因为3=3,3=1+2,3=1+1+1,所以

为5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1,

所以。                         ……………………………………3分

(2)结论是.

证明如下:由结论知,只需证

因为,把的一个表示法中去掉,就可得到一个的表示法;反之,在的一个表示法前面添加一个“1+”,就得到一个的表示法,即的表示法中的表示法种数等于的表示法种数,

所以表示的是的表示法中的表示法数,的表示法中的表示法数。

同样,把一个的表示法中的加上1, 就可得到一个的表示法,这样就构造了从的表示法到的表示法的一个对应.

所以有……………………………………9分

(3)由第(2)问可知:

当正整数时,.

 所以.

对于*式,分别取,将所得等式相加得.

。                       ……………………………………13分

知识点

不等式的性质不等式的证明
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

已知函数

(1)解不等式

(2)若.求证:.

正确答案

见解析

解析

(1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=

当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;

当-3≤x≤1时,f(x)≤8不成立;

当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.  …4分

所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤-5,或x≥3},           …5分

(2)f(ab)>|a|f(),即|ab-1|>|a-b|,             …6分

因为|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2

=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)

=(a2-1)(b2-1)>0,

所以|ab-1|>|a-b|,故所证不等式成立,            10分

知识点

绝对值不等式的解法不等式的证明
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

已知x>0, y>0,证明:(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.

正确答案

见解析。

解析

因为x>0, y>0, 所以1+x+y2,1+x2+y≥

所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy.

知识点

不等式的证明
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

20.若由数列生成的数列满足对任意的其中,则称数列为“Z数列”。

(I)在数列中,已知,试判断数列是否为“Z数列”;

(II)若数列是“Z数列”,

(III)若数列是“Z数列”,设求证

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合不等式的证明
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

19.设函数,曲线在点P(1,0)处的切线斜率为2。

(1)求a,b的值;

(2)证明:

正确答案

由题设,y=f(x)在点P(1,0)处切线的斜率为2.

,解之得

因此实数a,b的值分别为-1和3.

(2)证明 f(x)=x-x2+3ln x(x>0).

设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x,

则g′(x)=-1-2x+=-.

当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0.

∴g(x)在 (0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减.

∴g(x)在x=1处有最大值g(1)=0,

∴f(x)-(2x-2)≤0,即f(x)≤2x-2,得证

解析

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知识点

导数的几何意义不等式的证明
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