热门试卷

解析已在路上飞奔，马上就到！

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因为x，y，z都是为正数，

所以   ①

同理可得

②

③

当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立。

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，

得：

证明:由柯西不等式得

则,即

（方法一）证明：

因为实数a、b≥0，

所以上式≥0。即有。

（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

当时，，从而，得；

当时，，从而，得；

所以。

（1）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以。

因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，

所以。                         ……………………………………3分

（2）结论是.

证明如下：由结论知，只需证

因为，把的一个表示法中的去掉，就可得到一个的表示法；反之，在的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个的表示法，即的表示法中的表示法种数等于的表示法种数，

所以表示的是的表示法中的表示法数，是的表示法中的表示法数。

同样，把一个的的表示法中的加上1， 就可得到一个的的表示法，这样就构造了从的的表示法到的的表示法的一个对应.

所以有……………………………………9分

（3）由第（2）问可知：

当正整数时，.

又 所以.

对于*式，分别取为，将所得等式相加得.

即。                       ……………………………………13分

（1）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝

当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；

当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；

当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3.  …4分

所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}，           …5分

（2）f(ab)＞|a|f()，即|ab－1|＞|a－b|，             …6分

因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2

＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)

＝(a2－1)(b2－1)＞0，

所以|ab－1|＞|a－b|，故所证不等式成立，            10分

因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥，1+x2+y≥，

所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy.

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