- 不等式的证明
- 共16题
20.已知函数的单调递增区间为,
(1)求证:;
(2)当取最小值时,点是函数图象上的两点,若存在使得,求证:
正确答案
(1)
依题意是方程的两根有:
(2)
取最小值时,,
在上是增函数,,
,从而
即
考虑函数,因,故当时,有,
所以是上是减函数.
由,得
由及得
故,即.
解析
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知识点
请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分。
22.如图,AB是圆O的直径,C是半径OB的中点,D是OB延长线上一点,且BD=OB,直线MD与圆O相交于点M、T,(不与a、b重合),DN与圆O相切于点N,连结MC,MB,OT。
(I)求证:;
(II) 若,试求的大小。
23.已知函数.
(I)解不等式 ;
(II)若,求证:≤.
正确答案
22.(1)证明:因MD与圆O相交于点T,由切割线定
理,,得
,设半径OB=,因BD=OB,且BC=OC=,
则,,
所以
(2)由(1)可知,,且,
故∽,所以;
根据圆周角定理得,,则
23.(1)由题.
因此只须解不等式.
当时,原不式等价于,即.
当时,原不式等价于,即.
当时,原不式等价于,即.
综上,原不等式的解集为.
(2)由题.
当>0时,
.
解析
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知识点
已知x>0, y>0,证明:(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.
正确答案
见解析。
解析
因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥,1+x2+y≥,
所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy.
知识点
20.若由数列生成的数列满足对任意的其中,则称数列为“Z数列”。
(I)在数列中,已知,试判断数列是否为“Z数列”;
(II)若数列是“Z数列”,
(III)若数列是“Z数列”,设求证
正确答案
解析
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知识点
19.设函数,曲线在点P(1,0)处的切线斜率为2。
(1)求a,b的值;
(2)证明:。
正确答案
由题设,y=f(x)在点P(1,0)处切线的斜率为2.
∴,解之得
因此实数a,b的值分别为-1和3.
(2)证明 f(x)=x-x2+3ln x(x>0).
设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x,
则g′(x)=-1-2x+=-.
当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0.
∴g(x)在 (0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减.
∴g(x)在x=1处有最大值g(1)=0,
∴f(x)-(2x-2)≤0,即f(x)≤2x-2,得证
解析
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知识点
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