平行线等分线段定理
共84题

平行线等分线段定理
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题型：简答题

简答题

在▱ABCD中，E是BA延长线上任一点，EC交AD于F，已知S△BCE=m，S△DCF=n，求平行四边形的面积．

正确答案

解：设△BCE的高为a，△DCF的高为b，则m=，n=，平行四边形的面积S=b•BC

∴S=，

∵AF∥BC，

∴a•DF=b•BC=S，

∴S=2．

解析

解：设△BCE的高为a，△DCF的高为b，则m=，n=，平行四边形的面积S=b•BC

∴S=，

∵AF∥BC，

∴a•DF=b•BC=S，

∴S=2．

题型：单选题

单选题

如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：3，那么AD：AB等于（　　）

A1：

B1：2

C1：3

D1：4

正确答案

解析

解：∵S△ADE：S四边形DBCE=1：3，

∴S△ADE：S△ABC=1：4，

又∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，相似比是1：2，

∴AD：AB=1：2．

故选：B．

题型：简答题

简答题

如图，直线l与AB交于点O，点M是AB的中点，过点A、M、B分别作l的垂线，垂足分别是E、F、G．求证：FM=（BG-AE）．

正确答案

证明；连接BE，交FM的延长线于T，

∵如图，直线l与AB交于点O，点M是AB的中点，

过点A、M、B分别作l的垂线，垂足分别是E、F、G．

∴T是BE的中点，FT∥BG，MT∥AE，

在△BEG中，FT是中位线，即FT=BG，

在△BEA中，MT是中位线，即MT=AE，

FM=FT-MT=BG-AE=（BG-AE）．

即FM=（BG-AE）成立．

解析

证明；连接BE，交FM的延长线于T，

∵如图，直线l与AB交于点O，点M是AB的中点，

过点A、M、B分别作l的垂线，垂足分别是E、F、G．

∴T是BE的中点，FT∥BG，MT∥AE，

在△BEG中，FT是中位线，即FT=BG，

在△BEA中，MT是中位线，即MT=AE，

FM=FT-MT=BG-AE=（BG-AE）．

即FM=（BG-AE）成立．

题型：填空题

填空题

O是锐角△ABC的外心，AO、BO、CO分别交对边于L、M、N，则++=______．

正确答案

解析

解：如图，过O作OE⊥BC交BC于E，再过A作AF⊥BC交BC于F．

∵OE⊥BC，AF⊥BC，

∴OE∥AF，

∴△OEL∽△AFL，

∴OL：AL=OE：AF．

∵△OBC与△ABC是同底不等高的三角形，

∴OE：AF=S△OBC：S△ABC，

∴OL：AL=S△OBC：S△ABC，

∴1-OL：AL=1-S△OBC：S△ABC，

∴（AL-OL）：AL=1-S△OBC：S△ABC，

∴AO：AL=1-S△OBC：S△ABC，…①

同理，有：BO：BM=1-S△OAC：S△BAC，…②

CO：CN=1-S△OAB：S△CAB…③

①+②+③，得：

++=3-（S△OBC+S△OAC+S△OAB）：S△ABC

=3-1

=2．

故答案为：2．

题型：填空题

填空题

如图，平行四边形ABCD中，E在AB上，F在DE上AE：EB=1：2，△AEF的面积为6，则△ADF的面积为______．

正确答案

解析

解：由题意可得△AEF∽△CDF，

且相似比为1：3，

由△AEF的面积为6，

得△CDF的面积为54，

S△ADF：S△CDF=1：3，所以S△ADF=18．

故答案为：18

题型：填空题

填空题

如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，△AEF的面积为1cm2，则平行四边形ABCD的面积为______cm2．

正确答案

解析

解：∵AE∥CD，∴△AEF∽△CDF，

∴AE：CD=AF：CF，

∵AE：EB=1：2，

∴AE：AB=AE：CD=1：3，

∴AF：CF=1：3，

∴AF：AC=1：4，

∴△AEF与△ABC的高的比为1：4，

∴△AEF与△ABC的面积的比为1：12，

∴△AEF与平行四边形ABCD的面积的比为1：24，

∵△AEF的面积等于1cm2，

∴平行四边形ABCD的面积等于24cm2．

故答案为：24．

题型：简答题

简答题

△ABC中，AD是BC边上中线，E为AD上一点，BE的延长线交AC于F，交AB的平行线CG于G．

（1）若AC=8，BG=16，AF=3，求BF的长；

（2）证明：BE2=EF•EG．

正确答案

（1）解：∵AB∥CG，

∴△ABF∽△CGF，

∴=，

∵AC=8，BG=16，AF=3，

∴，

∴BF=6；

（2）证明：如图所示，过点C作CI∥AB，交AD的延长线于点I，过点C作CH∥BF交DI于点H．

∵AB∥CI，

∴∠BAD=∠CID．

在△ABD和△ICD中，，

∴△ABD≌△ICD．

∴AD=DI．

同理：△EBD≌△HCD．

∴ED=HD，BE=HC．

∴AD+DH=DI+ED，即AH=EI．

∵EF∥HC，

∴△AEF∽△AHC．

∴．

∵AB∥GI，

∴△ABE∽△IGE．

∴．

又∵BE=HC，

∴．

∴BE2=EF•EG．

解析

（1）解：∵AB∥CG，

∴△ABF∽△CGF，

∴=，

∵AC=8，BG=16，AF=3，

∴，

∴BF=6；

（2）证明：如图所示，过点C作CI∥AB，交AD的延长线于点I，过点C作CH∥BF交DI于点H．

∵AB∥CI，

∴∠BAD=∠CID．

在△ABD和△ICD中，，

∴△ABD≌△ICD．

∴AD=DI．

同理：△EBD≌△HCD．

∴ED=HD，BE=HC．

∴AD+DH=DI+ED，即AH=EI．

∵EF∥HC，

∴△AEF∽△AHC．

∴．

∵AB∥GI，

∴△ABE∽△IGE．

∴．

又∵BE=HC，

∴．

∴BE2=EF•EG．

题型：填空题

填空题

在Rt△ABC中，CD是斜边上的高线，AC：BC=3：1，则S△ABC：S△ACD=______．

正确答案

10：9

解析

解：设BC=a，则AC=3a，AB=a，

∵BC2=BD•BA，

∴BD==a．

∴CD==a．

∴S△ABC：S△BCD=（CB•CB•AC）：（CB•BD•DC）=10：1，

∴S△ABC：S△ACD=10：9．

故答案为：10：9．

题型：单选题

单选题

如图所示，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF：FD为（　　）

A4：1

B3：1

C2：1

D5：1

正确答案

解析

解：过D作DG∥AC交BE于G，∵D是BC的中点，则DG=EC，

又AE=2EC，故AF：FD=AE：DG=2EC：EC=4：1．

故选：A．

题型：填空题

填空题

如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC=______．

正确答案

1：4

解析

解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，

∵DE是△ABC中位线，

∴DE=BC，AE=BE，AD=CD，

∴∠EDB=∠DBF，

∵P、Q是BD、CE的中点，

∴DP=BP，

∵在△DEP与△BFP中，，

∴△DEP≌△BFP（ASA），

∴BF=DE=BC，P是EF中点，

∴FC=BC，

∵PQ是△EFC中位线，∴PQ=FC，

∴PQ：BC=1：4．

故答案为：1：4．

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