基本不等式及不等式的应用_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数.

25.若时，恒成立，求的取值范围；

26.若时，令求证：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

m=0

解析

当时，，欲使即恒成立，

只要满足对恒成立即可.

对于，即令则所以函数在内单调递增，在内单调递减.而所以.

对于即,令,

则令则

所以在内单调递减,则从而

所以在内单调递减,则且当时,,所以.

综上所述可得:.

考查方向

考查函数的导数的应用

解题思路

利用条件，将不等式恒成立问题转化成只要满足对恒成立，构造新函数，利用导数解决函数的最值，从而证明不等式恒成立

易错点

利用导数在处理单调区间及分类讨论上容易出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明见解析

解析

下面用数学归纳法证明

(1)当时,,所以所以,当时命题成立

(2)假设时命题成立,即要证明时命题成立,即证明

只需证明即证明由当时,易证,所以所以函数在区间上为增函数. 可证明函数在上为增函数,

由归纳假设得所以

若则必有,故现在证明

构造函数则

,易证,所以函数在上为增函数,

故即则

由‚及题意知，即.

综合知:对任意的都有成立

考查方向

考查函数、数列、不等式之间的关系，数学归纳法

解题思路

用分析法，从结论入手，考虑由于与正整数有关，可以用数学归纳法证明，在证明假设n=k,将转化为所以考虑从函数的导数切入，函数f(x)在区间(1.+)上为增函数.利用题中假设，由归纳假设得所以若则必有,故现在证明原函数易证在(1,+为增函数，再由题中的假设，再构造新函数得到通过推理得出，综上得证。

易错点

不容易考虑到用数学归纳法证明

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知函数.

25.若曲线在点（2，f(2)）处的切线的斜率小于0，求的单调区间；

26.对任意的，，恒有，求正数的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

递增区间为(0,1)，（2a+1,+），单调递减区间为(1,2a+1)

解析

，

若曲线在点（2，f(2)）处的切线的斜率小于0，

则，即有，∴2a+1>2>1，…………………2

则由f(x)>0得0<x<1或x>2a+1；由f(x)<0得1<x<2a+1。

∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，（2a+1,+），单调递减区间为(1,2a+1)。……5

考查方向

本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值等情况. 对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求

解题思路

通过求导，将单调递减区间转成导数正负问题；

易错点

存在性与恒成立的区别

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵，∴(2a+1)[4,6],由(Ⅰ)知f(x)在[1,2]上为减函数。

不妨设1≤x1<x2≤2，则f(x1)>f(x2)，，

∴原不等式即为：f(x1)-f(x2)<，

即，对任意的，x1，x2[1,2]恒成立。……7

令g(x)=f(x)-，∴对任意的，x1，x2[1,2]有g(x1)<g(x2)恒成立，

∴g(x)=f(x)-在闭区间[1，2]上为增函数，

∴对任意的，x[1,2]恒成立。……………………9

而，

化简得，

即≥0，其中。

∵[1,2]，，只需，

即对任意x[1,2]恒成立，

令，x[1,2]，恒成立，

∴在闭区间[1,2]上为减函数，

则。由，解得。……12

考查方向

本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值等情况. 对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求

解题思路

本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值等情况. 本题对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求.

易错点

构造函数，及讨论问题的全面性。处理逻辑推理与运算求解能力方面易出错。思路不清晰，步骤不严谨

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若定义在R上的减函数，对任意的，不等式成立，则当时，的取值范围是( )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由在上单调递减结合得出，即再结合得出可行域为（如图为轴，为轴），所以表示的是点与点连线的斜率，当在点时达到最大值，在点时达到最小值，故所求的取值范围是。故选C选项。

考查方向

本题主要考查了函数的性质（单调性）求解不等式和线性规划问题；属于高考热点问题，常考的有函数的性质、用图（数形结合思想）、复合方程问题，目标函数常见的有线性、斜率和距离型等。

解题思路

由函数的单调性结合不等式得出，对其进行因式分解画出可行域，再由可行域求出的取值范围。

易错点

本题易在上的处理上导致解题受阻。

知识点

函数性质的综合应用不等式与函数的综合问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．已知是定义域，值域都为的函数，

满足，则下列不等式正确的是（）

A

B

C

D

正确答案

D

知识点

不等式与函数的综合问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）

A1800元

B2400元

C2800元

D3100元

正确答案

C

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

其它不等式的解法不等式的实际应用

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的渐近线方程为________.

正确答案

解析

略

知识点

不等式的实际应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为(　　)

A50,0

B30,20

C20,30

D0,50

正确答案

B

解析

设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩、y亩，总利润为z万元，

则z关于x，y的关系式为z＝4x×0.55－1.2x＋6y×0.3－0.9y＝x＋0.9y，且x，y满足的约束条件为

画可行域，如图所示：

设l0：，将l0上下平移可知，

当直线z＝x＋0.9y过点A(30,20)(注：可联立方程组解得点A的坐标)时，z取得最大值，因此当总利润z最大时，x＝30，y＝20，即黄瓜的种植面积为30亩，韭菜的种植面积为20亩。

知识点

不等式恒成立问题不等式的实际应用

1

题型：简答题

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多选题

影响基金类产品收益的因素有两方面，其中来自基金自身的因素有( )。

A．货币市场工具
B．基金管理公司的整体业务运行情况
C．基金管理人员的业务素质
D．股票和债券
E．基金管理公司的资产管理与投资策略

正确答案

B,C,E

解析

[解析] 选项AD是来自基金基础市场的因素，所以不选。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

4．命题“”的否命题是_____________ 。

正确答案

解析

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知识点

不等式的实际应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

20．某段城铁线路上依次有A．B．C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。

（1）分别写出列车在B．C两站的运行误差；（用含的表达式表示，并以分钟为单位）

（2）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围。

正确答案

（1）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是：和。

（2）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，

所以（*）

①当时，（*）式变形为，解得；

②当时，（*）式变形为，解得；

③当时，（*）式变形为，解得；

综上所述，的取值范围是。

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

不等式的实际应用

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