圆的方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知动点P到定点的距离和它到定直线的距离的比值为。

（1）求动点P的轨迹的方程；

（2）若过点F的直线与点P的轨迹相交于M，N两点(M，N均在y轴右侧)，点、，设A，B，M，N四点构成的四边形的面积为S，求S的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）设动点，则，

化简得。

（2）由（1），轨迹是以为焦点，离心率为的椭圆，如图，连结OM、ON，设直线MN方程为，点，，

联立消去x，得，

则，，

所以，

由于M，N均在y轴右侧，则，，且，

则

， 8分

令，则，则

【或利用求面积S，解法如下：

，则，

。

方法一、，

故面积函数在单调递减，所以，

所以面积S的取值范围是。

方法二、，

因为，则，

所以，

则，即，

所以面积S的取值范围是。

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点。

（1）写出圆的直角坐标方程；

（2）求的值.

正确答案

（1）（2）

解析

解析：（1）由，得

， ……………………2分

即

即圆的直角坐标方程为 ……………………4分

（2）由点的极坐标得点直角坐标为……………6分

将代入消去整理得， ……………………8分

设为方程的两个根，则

所以=. ……………………10分

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

已知在直角坐标系中，直线l过点P，且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为。

（1）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；

（2）试判定直线l和圆C的位置关系。

正确答案

（1）（2）直线和圆C相离

解析

（1）直线的参数方程是，（为参数） …………………2分

圆心C直角坐标为……3分圆C的直角坐标方程为 ……4分

由 …5分得圆C的极坐标方程是. ………6分

（2）圆心的直角坐标是，直线的普通方程是， ………8分

圆心到直线的距离， …………………9分

所以直线和圆C相离. …………………10分

知识点

圆的标准方程

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知焦点在轴上的双曲线的渐近线过椭圆和椭圆（）的交点，则双曲线的离心率的取值范围是

正确答案

解析

①-②可得：

知识点

圆的标准方程

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知球O的半径为R，圆柱内接于球，当内接圆柱的体积最大时，高等于

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设球内接圆柱的高为h，则圆柱底面半径

∴

，得

因为只有唯一的零点，所以时取得最大值。故选“A”。

知识点

圆的标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（　　）

A

B48π

C

D

正确答案

A

解析

由题意画出几何体的图形如图，

把A、B、C、D扩展为三棱柱，

上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，

AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，

所以AE==。

AO==2。

所求球的体积为：=。

故选A。

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q

（1）求证：

（2）若AQ=2AP，AB=,BP=2，求QD.

正确答案

见解析

解析

解析：（1）因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC, 又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB,

因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA,所以△ACB∽△CQA,所以,

所以 ………5分

（2）因为AB∥CD，AQ=2AP，所以,由AB=,BP=2得,PC=6

为圆O的切线

又因为为圆O的切线 ………10分

知识点

圆的标准方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图，半径分别为和的圆O1与圆O2外切于T，自圆O2上一点P引圆O1的切线，切点为Q，若PQ=2，则PT= 。

正确答案

PT=

解析

连接PT，延长交圆O于K，连O1O2则O1O2过切点T，由弦切角定理可得，又~

又由切割线定理，得

代入上式，得

知识点

圆的标准方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为，以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，则圆心C到直线l距离为　　。

正确答案

解析

因为直线l的参数方程为。

∴ 消去参数t可得直线的普通方程为：y=（x+3）⇒x﹣y+3=0。

又因为圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0；

所以：圆的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+3=0，即：（x﹣2）2+y2=1；圆心为（2，0），半径为1。

故圆心到直线的距离为：=。

故答案为：。

知识点

圆的标准方程

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

设R，i，j为直角坐标系的单位向量，a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，|a|+|b|=8

（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程

（2）过A（0，3）作直线L与曲线C交于A、B两点，若是否存在直线L使得OAPB为矩形，若存在，求出直线L的方程，若不存在，说明理由

正确答案

见解析

解析

解析：（1）∵a=xi+（y+2）j b=xi+（y+2）j |a|+|b|=8

∴动点M（x，y）是到定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和8

∴曲线C的轨迹方程为

（2）直线L过N（0，3），若L是y轴，则A，B是椭圆的顶点

∵=+=0，∴P与O重合与OAPB为矩形矛盾

∴直线L的斜率存在，设L：y=kx+3 A（x1，y1）B（x2，y2）

由得（4+3k2）x2+8kx－21=0

∵△=64k2+845（4+3k2）＞0恒成立

∴由韦达定理得x1+x2= x1·x2=

∵=+ ∴OAPB是平行四边形

若存在L，使它为矩形，则⊥ 即·=0 ∴x1·x2+y1·y2=0

即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，∴（1+k2）·（－）+3k·（－）+9=0

k2= k=± 所求直线L的方程：y=±x+3。

知识点

圆的标准方程

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