函数的基本性质
共1471题

函数的基本性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，。

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为,为坐标原点,求的外接圆的面积.

正确答案

见解析。

解析

（1）

，……………………………………………2分

所以，函数的最小正周期为， ………………………………………3分

由（）得（），

函数的单调递增区间是（）………………………………5分

（2），

，

……………………………………………………………………7分

从而

，………………………………………………10分

设的外接圆的半径为，

由

的外接圆的面积………………………………………………12分

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

如上左图，目标函数的可行域为四边形(含边界) ，若点是该目标函数取最小值时的最优解，则的取值范围是

正确答案

解析

略。

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

在约束条件下，目标函数的最大值是____________.

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，已知△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，记。

（1）求关于的表达式；

（2）求的值域。

正确答案

见解析。

解析

（1）由正弦定理，得┉┉┉┉┉┉┉┉1分

┉┉┉┉3分

┉┉┉┉┉┉┉4分

┉┉┉┉┉┉5分

┉┉┉┉┉┉┉┉6分

（2）由，得┉┉┉┉┉┉┉┉7分

┉┉┉┉┉┉┉┉10分

∴，即的值域为。┉┉┉┉┉┉┉┉12分

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数的图象与x轴有三个不同的交点，求a的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，

∴。

令，得┉┉┉┉┉┉┉┉2分

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增； ┉┉┉┉┉4分

∴当时，取得极大值为

当时，取得极小值为。┉┉6分

（2）∵

∴。┉┉┉┉┉┉┉┉7分

① 若，则

在R上恒成立，

则在R上单调递增；

函数的图象与轴有且只有一个交点，不合题意。┉┉┉┉┉┉9分

② 若，则，

有两个不相等的实根，不妨设为且

则

当x变化时，，的取值情况如下表：

∵，

∴，┉┉┉┉┉┉┉┉11分

∴

同理，。

∴

，┉┉┉┉┉┉┉┉13分

令

此时的图象与x轴有三个不同的交点。

综上所述，a的取值范围是 ┉┉┉┉┉14分

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为2的等边三角形，则的值为

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 4 分

过点截成两段弧，若其中劣弧的长度最短，那么直线的方程为 ▲ .

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数（为常数,）。

（1）若是函数的一个极值点，求的值；

（2）求证：当时，在上是增函数；

（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

（1）.

由已知，得且，

，，.

（2）当时，,,

当时，.

又，.故在上是增函数.

（3）时，由（２）知，在上的最大值为，

于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立。

记，（）

则，

当时，，在区间上递减，此时，，

由于，时不可能使恒成立，故必有,

若，可知在区间上递减，在此区间上，有，与恒成立矛盾，故，这时，，在上递增，恒有，满足题设要求，即，

所以，实数的取值范围为.

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数与函数，在同一坐标系中的图象可能为

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

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