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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数f(x)=x2e-x.

(1)求f(x)的极小值和极大值;

(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围。

正确答案

(1) 极小值为f(0)=0,极大值为f(2)=4e-2; (2) (-∞,0)∪[,+∞)

解析

(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),

f′(x)=-e-xx(x-2),①

当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;

当x∈(0,2)时,f′(x)>0.

所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增。

故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;

当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.

(2)设切点为(t,f(t)),

则l的方程为y=f′(t)(x-t)+f(t)。

所以l在x轴上的截距为m(t)=.

由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞)。

令h(x)=(x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[,+∞);

当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3)。

所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[,+∞)。

综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[,+∞)

知识点

构成空间几何体的基本元素
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

构成空间几何体的基本元素简单空间图形的三视图
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点。

(1)证明:平面⊥平面

(2)平面分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。

正确答案

见解析

解析

(1)由题设知BC⊥,BC⊥AC,,∴,    又∵,∴,

由题设知,∴=,即,

又∵,   ∴⊥面,    ∵

∴面⊥面

(2)设棱锥的体积为=1,由题意得,==

由三棱柱的体积=1,

=1:1,  ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.

知识点

构成空间几何体的基本元素
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

下列命题中的真命题是                                                                                                                      (    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

略。

知识点

构成空间几何体的基本元素
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

如果函数上的最大值和最小值分别为,那么.根据这一结论求出的取值范围(       ).

A

B

C

D

正确答案

B

解析

上的最值,选.

知识点

构成空间几何体的基本元素
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为,那么这

个几何体的体积为 (    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由三视图还原几何体可知.

知识点

构成空间几何体的基本元素
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是(  )

A1 cm3

B2 cm3

C3 cm3

D6 cm3

正确答案

A

解析

由三视图得,该三棱锥底面面积S=×2×1=1(cm2),高为3 cm,由体积公式,得V=Sh=×1×3=1(cm3)

知识点

构成空间几何体的基本元素
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点,且

(1)求证:CN∥平面AMB1

(2)求证:B1M⊥平面AMG。

正确答案

见解析。

解析

(1)设AB1 的中点为P,连结NP、MP

∵CM,NP,∴CMNP,

∴CNPM是平行四边形,∴CN∥MP

∵CN埭  平面AMB1,MP奂  平面AMB1,∴CN∥平面AMB1…4分

(2)∵CC1⊥平面ABC,∴平面CC1 B1 B⊥平面ABC,

∵AG⊥BC,∴AG⊥平面CC1 B1 B,∴B1M⊥AG

设:AC=2a,则

同理,

∵ BB1∥CC1,∴BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,

知识点

构成空间几何体的基本元素
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

函数是常数,的部分图象如图所示,则f(0)=

正确答案

解析

知识点

构成空间几何体的基本元素
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别是AA1,A1D1,CC1,BC的中点,给出以下四个结论:①A1C⊥MN;②A1C∥平面MNPQ;③A1C与PM相交;④NC与PM异面,其中不正确的结论是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

知识点

构成空间几何体的基本元素
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