热门试卷

解：（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，

则切线的方程为y+1=k（x﹣a），

与方程y=x2联立，消去y，得x2﹣kx+ak+1=0。

因为直线与抛物线相切，所以△=k2﹣4（ak+1）=0，

即k2﹣4ak﹣4=0.由题意知，此方程两根为k1，k2，

∴k1k2=﹣4（定值），

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=x2，得y′=2x。

所以在P点处的切线斜率为：，

因此，切线方程为：y﹣y1=2x1（x﹣x1）。

由y1=x12，化简可得，2x1x﹣y﹣y1=0。

同理，得在点Q处的切线方程为2x2x﹣y﹣y2=0。

因为两切线的交点为A（a，﹣1），故2x1a﹣y1+1=0，2x2a﹣y2+1=0。

∴P，Q两点在直线2ax﹣y+1=0上，即直线PQ的方程为：2ax﹣y+1=0。

当x=0时，y=1，所以直线PQ经过定点（0，1）

解析：（1）当时，函数，。，曲线在点处的切线的斜率为，从而曲线在点处的切线方程为，即。

（2），令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立，由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是。

（3）∵在上是减函数，∴时，；时，，即，

①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数，当时，，因为，所以，，此时，在内是减函数，故当时，在上单调递减，不合题意；

②当时，由，所以，又由⑵知当时，在上是增函数，∴，不合题意；

③当时，由⑵知在上是增函数，，又在上是减函数，故只需，，而，，即，解得，所以实数的取值范围是。

（1） 且参数，

所以点的轨迹方程为

（2）因为，所以，

所以，所以直线的直角坐标方程为。

法一：由（1）点的轨迹方程为，圆心为，半径为2.

，所以点到直线距离的最大值

法二：，当，，即点到直线距离的最大值.