- 二次函数在闭区间上的最值
- 共44题
过直线y=﹣1上的动点A(a,﹣1)作抛物线y=x2的两切线AP,AQ,P,Q为切点。
(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,求证:k1•k2为定值。
(2)求证:直线PQ过定点。
正确答案
见解析
解析
解:(1)设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k,
则切线的方程为y+1=k(x﹣a),
与方程y=x2联立,消去y,得x2﹣kx+ak+1=0。
因为直线与抛物线相切,所以△=k2﹣4(ak+1)=0,
即k2﹣4ak﹣4=0.由题意知,此方程两根为k1,k2,
∴k1k2=﹣4(定值),
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由y=x2,得y′=2x。
所以在P点处的切线斜率为:,
因此,切线方程为:y﹣y1=2x1(x﹣x1)。
由y1=x12,化简可得,2x1x﹣y﹣y1=0。
同理,得在点Q处的切线方程为2x2x﹣y﹣y2=0。
因为两切线的交点为A(a,﹣1),故2x1a﹣y1+1=0,2x2a﹣y2+1=0。
∴P,Q两点在直线2ax﹣y+1=0上,即直线PQ的方程为:2ax﹣y+1=0。
当x=0时,y=1,所以直线PQ经过定点(0,1)
知识点
已知函数。
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数
的取值范围;
(3)设函数,若在
上至少存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)当时,函数
,
。
,曲线
在点
处的切线的斜率为
,从而曲线
在点
处的切线方程为
,即
。
(2),令
,要使
在定义域
内是增函数,只需
在
内恒成立,由题意
,
的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为
,∴
,只需
,即
时,
∴
在
内为增函数,正实数
的取值范围是
。
(3)∵在
上是减函数,∴
时,
;
时,
,即
,
①当时,
,其图象为开口向下的抛物线,对称轴
在
轴的左侧,且
,所以
在
内是减函数,当
时,
,因为
,所以
,
,此时,
在
内是减函数,故当
时,
在
上单调递减
,不合题意;
②当时,由
,所以
,又由⑵知当
时,
在
上是增函数,∴
,不合题意;
③当时,由⑵知
在
上是增函数,
,又
在
上是减函数,故只需
,
,而
,
,即
,解得
,所以实数
的取值范围是
。
知识点
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与
轴的正半轴重合,且长度单位相同,直线
的极坐标方程为:
,点
,参数
.
(1)求点轨迹的直角坐标方程;
(2)求点到直线
距离的最大值。
正确答案
见解析
解析
(1) 且参数
,
所以点的轨迹方程为
(2)因为,所以
,
所以,所以直线
的直角坐标方程为
。
法一:由(1)点的轨迹方程为
,圆心为
,半径为2.
,所以点
到直线
距离的最大值
法二:,当
,
,即点
到直线
距离的最大值
.
知识点
某几何体的三视图如右图所示,已知其正视图的周长为6,则该几何体体积的最大值为
正确答案
解析
由三视图可知,这个几何体为圆柱,设圆柱的底面半径为r,高为h,则h+2r=3,圆柱的体积为:
V(r)=Sh=r2h=
r2(3-2r)=
(3r2-2r3)
=
(6r-6r2),令
=0,得r=0(舍去)或r=1,
当r(0,1)是,
>0,V(r)递增,当r
(1,+
)是,
<0,V(r)递减,
r=1是V(r)的一个唯一的极大值点,也是最大值点,所以,
r=1时,圆柱体积的最大值为:V=,选B。
知识点
等差数列的前
项和
,等比数列
的公比
,有
,
,
,
(1)求数列,
的通项公式
;
(2)求数列的前
项和
,
正确答案
见解析
解析
解析:
(1)设公差为
,
所以
解得
所以
(2)由(1)知
+
①
①得
②
①-②得
,
整理得,
知识点
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