- 基本不等式的实际应用
- 共15题
世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为
的矩形
健身场地,如图点M在
上,点N在
上,且P点在斜边
上,已知
且
米,
,
。
(1)试用表示
,并求
的取值范围;
(2)设矩形健身场地每平方米的造价为
,再把矩形
以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为
(
为正常数),求总造价
关于
的函数
;试问如何选取
的长使总造价
最低。(不要求求出最低造价)
正确答案
(1)(2)长为12米或18米时总造价
最低
解析
解析:(1)在中,显然
,
所以 -----2分
矩形的面积
,
------4分
于是为所求--------6分
(2) 矩形健身场地造价
--------------7
又的面积为
,
即草坪造价, --------8分
由总造价
所以,
-------------10分
-------------11分
当且仅当即
时等号成立---------12分
此时,解得
或
,
所以选取的长为12米或18米时总造价
最低。---------------14分
知识点
如图,在交AC于 点D,现将
(1)当棱锥的体积最大时,求PA的长;
(2)若点P为AB的中点,E为
正确答案
见解析
解析
(1)设
,则
令
则
由上表易知:当时,有
取最大值。
证明:
(2)
作得中点F,连接EF、FP
由已知得:
为等腰直角三角形,
所以.
知识点
若实数满足
,则
的最大值是_________。
正确答案
解析
略
知识点
在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 () (m)。
正确答案
20
解析
利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为y, 由三角形相似得:
.
知识点
若点G为△ABC的重心,且AG⊥BG,则sinC的最大值为 。
正确答案
解析
设AB中点为O,连接AO,可得重心G在CO上且=
以AB所在直线为x轴,AB中点为原点建立如图所示直角坐标系
设AB=2,则A(﹣1,0),B(1,0),
设C(x,y),可得G(,
)
∵AG⊥BG,∴点G在以AB为直径的圆上运动(A、B两点除外)
由此可得()2+(
)2=1,整理得x2+y2=9
因此,点C在以原点为圆心,半径为3的圆上运动(x轴上两点除外)
在点C的运动中观察∠C的变化,可得当C点在y轴时,∠C达到最大值
而且sinC同时达到最大值。
此时tan=
,可得sinC=
=
故选:
知识点
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