- 点到直线的距离
- 共1963题
在抛物线x2=y上求一点，使这点到直线2x-y=4的距离最短．
正确答案
设点P（t，t2），点P到直线2x-y=4的距离为d，
则d=
当t=1时，d取得最小值
此时P（1，1）为所求的点．
平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线y=
正确答案
直线即25x-15y+12=0，设平面上点（x，y）到直线的距离为d，则 d=
∵5x-3y+2为整数，故|5（5x-3y+2）+2|≥2，当且仅当x=1、y=1时，取到最小值2，
故所求的距离的最小值为d=
故答案为：
若点（1，1）到直线xcosα+ysinα=2的距离为d，则d的最大值是______．
正确答案
d=
故答案是2+
设函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a2x2；
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）图象上的点到直线x-y+3=0距离的最小值；
（2）是否存在正实数a，使得不等式f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
正确答案
（1）由f（x）=-x+lnx，得f′(x)=-1+
∴所求距离的最小值即为P(
d=
（2）假设存在正数a，令F（x）=f（x）-g（x）（x＞0），则F（x）max≤0
由F′(x)=a+
∴F（x）为减函数；
当0＜x＜
∴F（x）为增函数
∴F(x)max=F(
∴ln
所以a的取值范围是[1，+∞）
过x轴上的动点A（a，0）的抛物线y=x2+1引两切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；
（2）求证：直线PQ过定点；
（3）若a≠0，试求S△APQ：|OA|的最小值．
正确答案
解：（1）设切点P（x1，y1），Q（x1，y1）
由题意可得，kAP=
∴
从而可得x1，x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根，
∴x=a±
∴k1k2=
即k1k2为定值﹣4．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y﹣y1=2x1（x﹣x1），
则﹣y1=2x1（a﹣x1）=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2（y1﹣1）
∴y1=2x1a+2，
同理y2=2x2a+2，
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．
（3）
要使
而A到直线PQ的距离d=
当且仅当
∴
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